Kolmogorov aksiyomları

Olasılık kuramı bilim dalında, belirli bir olay E için olasılık P matematik notasyonla $P(E)$ olarak ifade edilir. Bu ifadenin matematiksel tanımlanması ise Pnin Kolmogorov aksiyomlarını tatmin etmesi temeline bağlanmıştır. Bu aksiyomlari ilk defa ortaya atan 20.yüzyıl Rus istatistikçisi Andrey Kolmogorova atfen bu isim kullanılmaktadır.

Bu aksiyomları açıklamak için matematiksel biçimde ve notasyonla şu kavramların varsayılması gereklidir: (Ω, F, P) ifadesi bir ölçüm uzayı olsun ve burada P(Ω)=1 olduğu kabul edilsin. Bu halde (Ω, F, P) bir olasılık uzayıdır ve Ω örneklem uzayı, F olay uzayı ve P olasılık ölçüsü olarak tanımlanırlar.

Birinci aksiyom

Bir olayın olasılığı bir negatif-olmayan reel sayıdır ve bu sayı şöyle ifade edilir:

$P(E)\geq 0\qquad \forall E\subseteq F$

Burada $F$ olay uzayıdır.

İkinci aksiyom

Bu birim-ölçüsü varsayımıdır: Örneklem uzayının tümünü kapsayan bir basit olay ortaya çıkması için olasılık 1dir. Daha belirli bir şekilde ifadeyle; Örneklem uzayını taşan hiçbir basit olay mümkün değildir:

$P(\Omega )=1.\,$

Bu aksiyom bazı hatalı olasılık hesaplamalarında çok kere temel bir hatanın ortaya çıkmasına neden olmuştur. Eğer tüm örneklem uzayı kesinlikle tanımlanamıyorsa bunun herhangi bir alt setinin tanımlanması da imkânsızdır.

Üçüncü aksiyom

Bu σ-toplanabilirlik varsayımıdir. Herhangi bir ikişerli bağlantısız ortaya çıkan sayılabilir olaylar dizisi, $E_{1},E_{2},...$ şu eşitliği tatmin eder:

$P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )=\sum _{i}P(E_{i}).$

Bazı yazarlar sadece sonsuz olmayan-toplanabilir olasılık uzaylarını ele alırlar. Bu halde yalnızca setler cebiri kullanmak yeterlidir ama aksiyomun daha genel olamasi için σ-cebiri gereklidir.

Sonuçlar

Kolmogorov aksiyomları kullanılarak olasılıkların hesaplanması için diğer kullanışlı kurallar ortaya çıkartılabilir. Bunlardan en önemlisi

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Bu kurala toplama kuralı veya olasılık için toplama yasası adı verilir. Buna gore bir A olayi veya bir B olayının olması olasılığı A olayı için olasılık artı B olayı için olasılık eksi hem A hem de B olayının birlikte olasılığına eşittir.

Bu yasadan Kapsama-dışlama prensibi adı verilen şu sonuç çıkartılır:

$P(\Omega \setminus E)=1-P(E)$

Bir başka deyimle herhangi bir olayın olmama olasılığı 1 eksi olayın olma (ortaya çıkma) olasılığıdır.

İçsel kaynaklar

• Cox'un teoremi

Dışsal kaynaklar

• Kolmogorov,A.N. (1933) "Grundbegriffe der Wahrscheinlichtkeitsrechnung" Yeni basım: Grattan-Guinness,I (ed.) (2005), Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 960-69. (İngilizce)
• [Andrei Nikolaevich Kolmogorov'in Mirası Kolmogorov'un biyografi ve kısa özgeçmişi. Kolmogorov ekolü. Doktora öğrencileri ve akrabaları. A.N. Kolmogorov eserleri: kitapları, makaleleri. Fotograf ve portreleri.(İngilizce)