Kolmogorov aksiyomları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Olasılık teorisinde Kolmogorov aksiyomları, temel üç aksiyomdur. Belirli bir E olayı için P olasılığı varken matematik notasyonla olarak ifade edilirken Kolmogorov aksiyomlarını tatmin etmesi temeline bağlanmıştır. Bu aksiyomlar, ilk defa 20. yüzyılda Rus istatistikçisi Andrey Kolmogorov tarafından ortaya atılmıştır.

Bu aksiyomları açıklamak için matematiksel şekilde ve notasyonla şu kavramların varsayılması gereklidir: (Ω, F, P) ifadesi bir ölçüm uzayı olsun ve burada P(Ω) = 1 olduğu kabul edilsin. Bu hâlde (Ω, F, P) bir olasılık uzayıdır ve Ω örneklem uzayı, F olay uzayı ve P olasılık ölçüsü olarak tanımlanırlar.

Birinci aksiyom[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir olayın olasılığı bir negatif-olmayan reel sayıdır ve bu sayı şöyle ifade edilir:

Burada olay uzayıdır.

İkinci aksiyom[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu birim-ölçüsü varsayımıdır: Örnekleme uzayının tümünü kapsayan bir basit olay ortaya çıkması için olasılık 1dir. Daha belirli bir şekilde ifadeyle; Örneklem uzayını taşan hiçbir basit olay mümkün değildir:

Bu aksiyom bazı hatalı olasılık hesaplamalarında çok kere temel bir hatanın ortaya çıkmasına neden olmuştur. Eğer tüm örneklem uzayı kesinlikle tanımlanamıyorsa bunun herhangi bir alt setinin tanımlanması da imkânsızdır.

Üçüncü aksiyom[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu σ-toplanabilirlik varsayımıdir. Herhangi bir ikişerli bağlantısız ortaya çıkan sayılabilir olaylar dizisi, şu eşitliği tatmin eder:

Bazı yazarlar sadece sonsuz olmayan-toplanabilir olasılık uzaylarını ele alırlar. Bu hâlde yalnızca setler cebiri kullanmak yeterlidir ama aksiyomun daha genel olamasi için σ-cebiri gereklidir.

Sonuçlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kolmogorov aksiyomları kullanılarak olasılıkların hesaplanması için diğer kullanışlı kurallar ortaya çıkartılabilir. Bunlardan en önemlisi

Bu kurala toplama kuralı veya olasılık için toplama yasası adı verilir. Buna gore bir A olayi veya bir B olayının olması olasılığı A olayı için olasılık artı B olayı için olasılık eksi hem A hem de B olayının birlikte olasılığına eşittir.

Bu yasadan Kapsama-dışlama prensibi adı verilen şu sonuç çıkartılır:

Bir başka deyimle herhangi bir olayın olmama olasılığı 1 eksi olayın olma (ortaya çıkma) olasılığıdır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]