Küresel üçgen üzerinde Legendre teoremi

Küresel (Riemann geometrisi) ve düzlemsel (Öklid geometrisi) iki üçgen

Geometride, Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre adını taşıyan küresel üçgenler üzerinde Legendre teoremi şu şekilde ifade edilir:

$\triangle ABC$, küçük kenarları $a,b,c$ olan birim küre üzerindeki küresel bir üçgen olsun. $\triangle A'B'C'$ ise aynı kenarlı düzlemsel üçgen olsun. Buna göre, küresel üçgenin açıları, düzlemsel üçgenin karşılık gelen açılarını küresel fazlalığın yaklaşık üçte biri kadar aşar (küresel fazlalık, küresel üçgendeki üç açının toplamının, düzlemsel üçgenin iç açıları toplamı olan π değerini aştığı miktardır).

Teorem, yaklaşık 1800'den yirminci yüzyılın ortalarına kadar geleneksel (GPS ve bilgisayar öncesi) jeodezik araştırmaların sonuçlarının hesaplanmasında ağır sayısal hesaplamaları basitleştirmekte çok önemliydi.

Teorem, metre (Delambre 1798) tanımında Fransız meridyen yayının ölçüm raporunun tamamlanmasına bir kanıt (1798) sağlayan Legendre (1787) tarafından ifade edilmiştir. Legendre, kendisine atfedilmesine rağmen teoremin yaratıcısı olduğunu iddia etmemektedir. Tropfke (1903), yöntemin o sırada araştırmacılar tarafından ortak kullanımda olduğunu ve 1740 gibi erken bir tarihte La Condamine tarafından Peru meridyen yayının hesaplanması için kullanılmış olabileceğini savunuyor.

Girard teoremi bir E üçgeninin küresel fazlalığının, alanı $\Delta$'ya eşit olduğunu ve dolayısıyla Legendre teoreminin aşağıdaki şekilde yazılabileceğini ifade eder:

${\begin{aligned}A-A'\;\approx \;B-B'\;\approx \;C-C'\;\approx \;{\frac {1}{3}}E\;=\;{\frac {1}{3}}\Delta ,\qquad a,\;b,\;c\,\ll \,1.\end{aligned}}$

Küçük üçgenlerin fazlalığı veya alanı çok küçüktür. Örneğin, 6371 km yarıçaplı küresel bir Dünya üzerinde kenarları 60 km olan bir eşkenar küresel üçgen düşünün; kenar, ${\frac {60}{6371}}=,0094$ veya yaklaşık 10⁻² radyan (merkezde 0,57°'lik bir açıya karşılık gelen) bir açısal mesafeye karşılık gelir. Böyle küçük bir üçgenin alanı da aynı kenar ile düz bir eşkenar üçgen olduğu yaklaşılır: ${\frac {1}{2}}a^{2}sin({\frac {\pi }{3}})=0,0000433$ radyan yani 8,9″ 'ye karşılık gelir.

Üçgenlerin kenarları 180 km'yi aştığında fazlalık yaklaşık 80″ olup, alanlar arasındaki ilişkiler ve açı farklılıkları, 0,01″ 'den fazla olmamak kaydıyla, kenarlarda dördüncü terim ile düzeltilmelidir:

${\begin{aligned}\Delta &=\Delta '\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{24}}\right),\\A&=A'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left(-2a^{2}+b^{2}+c^{2}\right),\\B&=B'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left({\quad a^{2}-2b^{2}+c^{2}}\right),\\C&=C'+{\frac {\Delta }{3}}+{\frac {\Delta }{180}}\left({\quad a^{2}+b^{2}-2c^{2}}\right).\end{aligned}}$

($\Delta '$ düzlemsel üçgenin alanıdır.) Bu sonuç Buzengeiger (1818) tarafından kanıtlanmıştır — genişletilmiş bir kanıt Osborne (2013) (Ek D13)'de bulunabilir. Diğer sonuçlar Nádeník (2004) tarafından araştırılmıştır.

Eğer $a,b,c$ gerçek uzunlukları, (küresel bir yarıçap yerine) köşelerin medyan enleminde eğriliğin ana yarıçapının çarpımının kareköküne bölerek hesaplanırsa (bkz. Osborne (2013) Bölüm 5) teorem elipsoite genişletilbilir. Gauss (1828, Art. 26-28) daha kesin formüller sağlamıştır.

Kaynakça

• Buzengeiger, Karl Heribert Ignatz (1818), "Vergleichung zweier kleiner Dreiecke von gleichen Seiten, wovon das eine sphärisch, das andere eben ist", Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften, cilt 6, ss. 264-270 
• Clarke, Alexander Ross (1880), Geodesy, Clarendon Press, 27 Haziran 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 6 Şubat 2021. Republished at Forgotten Books. 
• Gauss, C. F. (1902) [1828]. General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825. Princeton Univ. Lib. English translation of Disquisitiones generales circa superficies curvas (Dieterich, Göttingen, 1828). 
• Legendre, Adrien-Marie (1787), Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendant de la figure de la Terre, Article VI [1], s. 7, 4 Eylül 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 6 Şubat 2021 
• Legendre, Adrien-Marie (1798), Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d'après les observations faites pour la mesure de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelone, ss. 12-14 (Note III [2]), 3 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 6 Şubat 2021 
• Nádeník, Zbynek (2004), Legendre theorem on spherical triangles (PDF), 16 Ocak 2014 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 6 Şubat 2021 
• Osborne, Peter (2013), The Mercator Projections, 24 Eylül 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 6 Şubat 2021 
• Tropfke, Johannes (1903), Geschichte der Elementar-Mathematik (Volume 2)., Verlag von Veit, s. 295