Küp (cebir)

Başlığın diğer anlamları için Küp (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

0 ≤ x ≤ 25 aralığındaki y = x³ değerleri.

Aritmetikte ve cebirde n sayısının küp'ü, o sayının üçüncü kuvvetidir. Yani kendisi ile 3 kere çarpılmasıdır:

n³ = n × n × n.

Ayrıca, kendisinin karesi ile çarpımıdır:

n³ = n × n²

Küp ayrıca, kenar uzunluğu n olan bir küpün hacminin formülüdür(3 ayrıt ölçüsünün çarpımı). Küpü n olan bir sayı bulmak için küp kök ters işlemi uygulanır.

Hem küp hem de küp kök tek fonksiyondur:

(−n)³ = −(n³)

ve

${\sqrt[{3}]{(-n)}}=-({\sqrt[{3}]{n}})$

Bir sayının veya herhangi bir ifadenin küpü, 3 üst indisi ile ifade edilir. Örneğin: 2³ = 8 veya (x + 1)³.

Bir geometrik küpün hacmi, kenar uzunluğunun küpüdür; adını da buradan alır. Küpü n olan bir sayıyı bulmaktan oluşan ters işleme, n'nın küp kökünü çıkarma denir. Bu, verilen bir hacme sahip küpün kenarını belirler. Ayrıca n'nın üçte birinci kuvvete yükseltilmesidir.

Küp fonksiyonunun grafiği kübik parabol olarak bilinir. Küp fonksiyonu tek bir fonksiyon olduğundan, bu eğrinin orijinde bir simetri merkezi vardır, ancak bir simetri ekseni yoktur.

Tam sayılar

Küp sayı, ya da tam küp, ya da bazen yalnızca küp, bir tam sayının küpü olan bir sayıdır.

60³'e kadar olan negatif olmayan tam küpler (OEIS'de A000578 dizisi) şunlardır:

03 =	0
13 =	1	113 =	1331	213 =	9261	313 =	29,791	413 =	68,921	513 =	132,651
23 =	8	123 =	1728	223 =	10,648	323 =	32,768	423 =	74,088	523 =	140,608
33 =	27	133 =	2197	233 =	12,167	333 =	35,937	433 =	79,507	533 =	148,877
43 =	64	143 =	2744	243 =	13,824	343 =	39,304	443 =	85,184	543 =	157,464
53 =	125	153 =	3375	253 =	15,625	353 =	42,875	453 =	91,125	553 =	166,375
63 =	216	163 =	4096	263 =	17,576	363 =	46,656	463 =	97,336	563 =	175,616
73 =	343	173 =	4913	273 =	19,683	373 =	50,653	473 =	103,823	573 =	185,193
83 =	512	183 =	5832	283 =	21,952	383 =	54,872	483 =	110,592	583 =	195,112
93 =	729	193 =	6859	293 =	24,389	393 =	59,319	493 =	117,649	593 =	205,379
103 =	1000	203 =	8000	303 =	27,000	403 =	64,000	503 =	125,000	603 =	216,000

Geometrik olarak konuşmak gerekirse, pozitif bir tam sayı m, ancak ve ancak m adet birim küp bir araya getirilerek daha büyük, dolu bir küp oluşturulabiliyorsa ancak ve ancak tam küptür. Örneğin, 27 küçük küp, bir Rubik Küpü görünümünde daha büyük bir küp oluşturacak şekilde düzenlenebilir; çünkü 3 × 3 × 3 = 27'dir.

Ardışık tam sayıların küplerinin farkı aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

n³ − (n − 1)³ = 3(n − 1)n + 1.

veya

(n + 1)³ − n³ = 3(n + 1)n + 1.

Negatif bir tam sayının küpü negatif olduğundan, en küçük tam küp yoktur. Örneğin, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Onluk taban

Tam karelerin aksine, tam küplerin son iki basamağı için az sayıda olasılık söz konusu değildir. Son iki basamak olarak yalnızca 25, 75 ve 00 gelebilen 5 ile bölünebilen küpler dışında, son basamağı tek olan herhangi bir basamak çifti bir tam küpün son basamakları olarak ortaya çıkabilir. Çift küplerde ise önemli bir kısıtlama vardır; çünkü bir tam küpün son iki basamağı yalnızca 00, o2, e4, o6 ve e8 olabilir (burada o herhangi bir tek basamağı ve e herhangi bir çift basamağı temsil eder). Bazı küp sayıları aynı zamanda kare sayılardır; örneğin, 64 bir kare sayıdır (8 × 8) ve bir küp sayıdır (4 × 4 × 4). Bu, ancak ve ancak sayı tam bir altıncı kuvvet ise gerçekleşir (bu durumda 2⁶).

Her 3. kuvvetin son basamakları şunlardır:

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Bununla birlikte, çoğu sayının tam küp olmadığını göstermek kolaydır; çünkü tüm tam küplerin basamak kökü 1, 8 veya 9 olmalıdır. Yani 9'a göre modüler değerleri yalnızca 0, 1 ve 8 olabilir. Ayrıca, herhangi bir sayının küpünün basamak kökü, sayının 3'e bölünmesinden kalan kalana göre belirlenebilir:

• x sayısı 3 ile bölünebiliyorsa, küpünün basamak kökü 9'dur; yani,

  ${\text{eğer}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{ise}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (aslında}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};$

• 3'e bölündüğünde 1 kalanını veriyorsa, küpünün basamak kökü 1'dir; yani,

  ${\text{eğer}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{ise}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};$

• 3'e bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa, küpünün basamak kökü 8'dir; yani,

  ${\text{eğer}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{ise}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.$

İki küpün toplamları

Ana madde: İki küpün toplamı

Üç küpün toplamları

Ana madde: Üç küpün toplamı

9 modülüne göre ±4'ye denk olmayan her tamsayının (pozitif ya da negatif) sonsuz sayıda yolla üç (pozitif ya da negatif) küpün toplamı olarak yazılabileceği varsayılmaktadır. Örneğin, $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$. 9 modülüne göre ±4'ye denk olan tamsayılar hariç tutulur; çünkü üç küpün toplamı olarak yazılamazlar.

Böyle bir toplamın bilinmediği en küçük tamsayı 114'tür. Eylül 2019'da, bilinen 3-küp toplamı olmayan önceki en küçük tamsayı olan 42'nin şu denklemi sağladığı bulunmuştur:

$42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.$

Küpler için Fermat'nın Son Teoremi

Ana madde: Fermat'nın son teoremi

x³ + y³ = z³ denkleminin tamsayılarda apaçık olmayan (yani xyz ≠ 0) çözümleri yoktur. Aslında, Eisenstein tamsayıları içinde de hiç yoktur.

Bu ifadelerin her ikisi de denklem için de doğrudur x³ + y³ = 3z³.

İlk n küpün toplamı

İlk n küpün toplamı, n. Üçgensel sayının karesidir:

$1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.$

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)² olduğunu gösteren görsel ispat.

İspatlar

Charles Wheatstone (1854), toplam içindeki her bir küpü ardışık tek sayılardan oluşan bir kümeye açarak özellikle basit bir türetim verir. Şu özdeşliği vererek başlar:

$n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ ardışık tek sayı}}}.$

Bu özdeşlik, üçgensel sayılar $T_{n}$ ile aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

$n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),$

ve böylece $n^{3}$'yi oluşturan terimler, $1^{3}$'ün $(n-1)^{3}$'e kadarki tüm önceki değerlerini oluşturan terimlerin hemen ardından başlar. Bu özelliği, iyi bilinen başka bir özdeşlikle birlikte uygulayarak:

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),$

aşağıdaki türetimi elde ederiz:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}$

Bir üçgensel sayının karesinin küpler toplamına eşit olduğunu görsel olarak gösterim.

Daha yakın matematik literatüründe, Stein (1971) bu sayıların dikdörtgen sayımı yorumunu kullanarak özdeşliğin geometrik bir ispatını oluşturur (ayrıca bkz. Benjamin, Quinn & Wurtz 2006); bunun tümevarımla da kolayca (ancak açıklayıcı olmadan) ispatlanabileceğini gözlemler ve Toeplitz (1963)'in "ilginç eski bir Arap ispatı" sağladığını belirtir. Kanim (2004) bütünüyle görsel bir ispat sunar, Benjamin & Orrison (2002) iki ek ispat sağlar ve Nelsen (1993) yedi geometrik ispat verir.

Örneğin, ilk 5 küpün toplamı 5. üçgensel sayının karesidir,

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}$

İlk y tek küpün toplamı için benzer bir sonuç verilebilir,

$1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}$

ancak x, y negatif Pell denklemi x² − 2y² = −1'i sağlamalıdır. Örneğin, y = 5 ve 29 için, o hâlde,

$1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}$

$1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}$

ve böyle devam eder. Ayrıca, en küçüğü hariç her çift mükemmel sayı, ilk 2^p−1/2 tek küpün toplamıdır (p = 3, 5, 7, ...):

$28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}$

$496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}$

$8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}$

Aritmetik dizide sayıların küplerinin toplamı

Platon sayısının bir yorumu, 3³ + 4³ + 5³ = 6³

Aritmetik dizi oluşturan sayıların küplerinin toplamının, yine bir küp olduğu örnekler vardır:

$3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$

$11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}$

$31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}$

Yukarıdaki ilk örnek bazen gizemli Plato sayısı olarak tanımlanır. n sayılarının, ortak farkı d ve başlangıç küpü a³ olan aritmetik dizideki F toplamını bulma formülü,

$F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}$

şu şekilde verilir:

$F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})$

$F(d,a,n)=y^{3}$

denkleminin parametrik bir çözümü, Pagliani'nin 1829'da bulduğu d = 1, yani ardışık küpler özel durumu için bilinmektedir.

Ardışık tek tamsayıların toplamı olarak küpler

Tek tamsayılar dizisi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... içinde, ilk bir tanesi bir küptür (1 = 1³); sonraki iki tanesinin toplamı bir sonraki küptür (3 + 5 = 2³); sonraki üç tanesinin toplamı bir sonraki küptür (7 + 9 + 11 = 3³); ve bu böyle devam eder.

Küpler için Waring problemi

Ana madde: Waring problemi

Her pozitif tamsayı, dokuz (veya daha az) pozitif küpün toplamı olarak yazılabilir. Bu dokuz küplük üst sınır azaltılamaz; çünkü örneğin 23, dokuzdan daha az pozitif küpün toplamı olarak yazılamaz:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Rasyonel sayılar

Her pozitif rasyonel sayı, üç pozitif rasyonel küpün toplamıdır, ve iki rasyonel küpün toplamı olmayan rasyonel sayılar vardır.

Reel sayılarda, diğer cisimlerde ve halkalarda

Daha fazla bilgi: Kübik fonksiyon

Kartezyen düzlemde y = x³ grafiği

Reel sayılarda, küp fonksiyonu sıralamayı korur: daha büyük sayıların küpleri daha büyüktür. Başka bir deyişle, küpler (kesin olarak) monotonik olarak artar. Ayrıca, değer kümesini tüm sayı doğrularıdır: x ↦ x³ : R → R fonksiyonu bir örtendir (mümkün olan tüm değerleri alır). Yalnızca üç sayı kendi küplerine eşittir: -1, 0 ve 1. Eğer −1 < x < 0 veya 1 < x ise, o zaman x³ > x. Eğer x < −1 veya 0 < x < 1 ise, o zaman x³ < x. Yukarıda belirtilen tüm özellikler, gerçek sayıların daha yüksek tek kuvvetleri (x⁵, x⁷, ...) için de geçerlidir. Eşitlikler ve eşitsizlikler herhangi bir sıralı halka içinde de doğrudur.

Benzer Öklidyen katı cisimlerin hacimleri, doğrusal boyutlarının küpleri olarak ilişkilidir.

Karmaşık sayılarda, salt sanal bir sayının küpü de salt sanaldır. Örneğin, i³ = −i.

x³'ün türevi 3x²'e eşittir.

Küpler, F_p gibi bazı cisimlerde, p asal p ≠ 1 (mod 3) koşulunu sağladığında, bazen örtenlik özelliğine sahiptir, ancak zorunlu olarak değil: yukarıdaki rasyonellerle karşı örneğe bakın. Ayrıca F₇ içinde toplam yedi elemandan yalnızca üç eleman 0, ±1 tam küptür. −1, 0 ve 1 her yerde tam küptür ve bir cismin kendi küplerine eşit olan tek elemanlarıdır: x(x − 1)(x + 1).

Tarih

Büyük sayıların küplerinin belirlenmesi, birçok antik uygarlıkta çok yaygındı. Mezopotamyalı matematikçiler, Eski Babil döneminde (MÖ 20. ila 16. yüzyıllar) küpleri ve küpkökleri hesaplamaya yönelik tablolar içeren çivi yazılı tabletler oluşturdular. Kübik denklemler, antik Yunan matematikçisi Diofantos tarafından biliniyordu. İskenderiyeli Heron, MS 1. yüzyılda küpkökleri hesaplamak için bir yöntem geliştirdi. Kübik denklemleri çözmeye ve küpkök çıkarmaya yönelik yöntemler, MÖ 2. yüzyıl civarında derlenen ve MS 3. yüzyılda Liu Hui tarafından şerh edilen Çince matematik metni Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm adlı eserde yer alır.

Ayrıca bakınız

• Kübik denklemler
• Delos problemi
• Sekizinci kuvvet
• Beşinci kuvvet
• Dördüncü kuvvet
• Mükemmel kuvvet
• Yedinci kuvvet
• Altıncı kuvvet
• Kare
• Taksi Sayılar

Kaynakça