Homotopi
 | Bu madde hiçbir kaynak içermemektedir. (Aralık 2023) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin) |
 | Bu maddedeki üslubun, ansiklopedik bir yazıdan beklenen resmî ve ciddi üsluba uygun olmadığı düşünülmektedir. |
| Bu madde, Vikipedi biçem el kitabına uygun değildir. (Mart 2020) |
Homotopi, temel grup cebirsel topolojiden gelen ve topolojik uzayın neye benzediğini anlamak için kullanılan bir araçtır; yani topolojik uzayın cebirsel bir tasvirini bize verir. Sezgisel olarak şöyle: X bir topolojik uzay ve x₀, X'in bir elemanı olsun. x₀ noktasında başlayıp X üzerinde kalarak x₀'da biten yolların hepsini düşünün. Bunlar topolojik uzay üzerinde bir eğri oluştururlar. Bu şekilde başlangıç ve bitiş noktası aynı olan yollara ilmek (ya da döngü, çevrim; İngilizce: loop) denir. Bazı ilmekler birbirine homotopik olarak denk, bazıları da değildir. Birbirine denk olan ilmekler arasında hiçbir fark görmememiz gerekmektedir. Oluşturulan bu küme π1(X,x₀) şeklinde yazılır. Bu küme, x₀ noktasındaki başlayıp biten tüm yollardan oluşur ve birbirine homotopik olan ilmekler bu kümede aynı elemandır. Bu küme üzerinde şöyle bir işlem tanımlayalım: İki tane ilmeği alalım ve uç uca ekleyelim. π1(X,x₀) kümesi bu işlemle bir grup yapısı oluşturur.
Matematiksel tanımlar şöyledir:
X bir topolojik uzay olsun. X üzerinde bir yol, sürekli bir γ: [0,1] → X fonksiyonudur. Eğer γ(0) = γ(1) ise γ'ya ilmek denir. Şimdi bir x₀ noktası alalım. Homotopi denkliği, x₀ noktasından geçen tüm ilmekler kümesini denklik sınıflarına ayırır. Yukarıda π1(X,x₀) şeklinde yazdığımız küme, aynen bu denklik sınıflarının oluşturduğu kümedir.
Şimdi işlemimizi tanımlayalım. α ve β, α(1)=β(0) olacak şekilde iki yol olsun. α ve β'nın çarpımı (ya da uç uca eklenmesi) şöyle tanımlanır:
α⋆β(s) = {α(2s)β(2s−1)s≤12s≥12
İki yolu birleştirebilmek için birinin başlangıç noktası diğerinin bitiş noktası olmalıdır. Bu yüzden bu işlem, tüm yollar kümesi üzerine bir grup oluşturamaz. Fakat yollar yerine ilmekleri alırsak, ⋆ işlemi π1(X,x₀) kümesi üzerinde bir grup yapısı tanımlar. Tabii bunu kanıtlamak için öncelikle homotopi denkliğinin bir denklik bağıntısı olduğunu göstermek, sonra ⋆ işleminin iyi tanımlı olduğunu yani [α]⋆[β] =[α⋆β] olduğunu, birleşme özelliğini sağladığını, bir etkisiz elemanı olduğunu ve son olarak da her elemanın bir tersinin olduğunu kanıtlamak gerekiyor.
(π1(X,x₀),⋆) grubuna X topolojik uzayının temel grubu denir. Temel grup bir topolojik değişmezdir; yani eğer iki topolojik uzay birbirine homeomorf ise bu topolojik uzayların temel grupları birbirine izomorftur.
