GF(2)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

GF(2) (ayrıca F2, Z/2Z veya Z2 olarak ta yazılır), iki ögeli ve en küçük sonlu alandır (Galois field).

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

İki öge hemen hemen her zaman 0 ile 1 olarak adlandırılır. Bunlar sırasıyla toplama özdeşliği ve çarpma özdeşliğidir.

Alanda toplama işlemi, mantıksal XOR'a uygun biçimde aşağıdaki tabloda verilmiştir.

+ 0 1
0 0 1
1 1 0

Alanda çarpma işlemi mantıksal VE'e uygun biçimde aşağıda tabloda verilmiştir.

× 0 1
0 0 0
1 0 1

GF(2), Z tamsayılar halkasının bölüm halkası olarak ta tanımlanabilir. Çünkü tüm çift sayılarda 2Z idealdir: GF(2) = Z/2Z.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: sonlu alan

GF(2) bir alan olduğunda dolayı, rasyonel sayılar ve reel sayılar gibi sayı sistemlerinin özelliklerine çok benzer, şöyle ki:

Reel sayılarda benzer olmayan özellikler şunlardır:

  • GF(2)'nin her x ögesi, x+x=0 eşitliğini sağlar ve bu yüzden −x = x;
  • GF(2)'nin her x ögesi, x2 = x eşitliğini sağlar.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki cebirsel özelliklerden dolayı, diğer dallar gibi matematikte de GF(2) sıkça kullanılır. Örneğin, ters matris te dahil matris işlemleri, GF(2) alanında uygulanabilir. (matris halkasına bakın).