Episikloid

Geometride, bir episikloid (ayrıca hipersikloid olarak da adlandırılır),^[1] sabit bir çemberin etrafında kaymadan yuvarlanan bir çemberin çevresi üzerinde seçilen bir noktanın yolunu izleyerek üretilen bir düzlem eğrisidir -buna episikl (epicycle) denir. Bu, yuvarlanma eğrisinin özel bir türüdür.

Küçük yarıçapı (R2) 0 olan bir episikloid bir çemberdir. Bu, eğrinin dejenere bir formudur.

Denklemler[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer küçük çemberin yarıçapı $r$ ve büyük çemberin yarıçapı $R = kr$ ise, o zaman eğri için parametrik denklemler her iki şekilde de verilebilir:

{\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}

veya:

{\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right)\end{aligned}}

Daha özlü ve karmaşık bir biçimde^[2]

z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)

burada;

$θ$ açısı devirler halindedir: $\theta \in [0,2\pi ].$
$r$ : daha küçük çemberin yarıçapı
$kr$ : daha büyük çemberin yarıçapı

Alan[değiştir | kaynağı değiştir]

(Başlangıç noktasının büyük çember üzerinde olduğu varsayılırsa.) $k$ pozitif bir tam sayı olduğunda, bu episikloidin alanı;

A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.

Bu, episikloidin orijinal sabit çemberden ${\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}$ kat daha büyük olduğu anlamına gelir.

Eğer $k$ pozitif bir tam sayı ise, o zaman eğri kapalıdır ve $k$ tane köşe noktasına (yani keskin köşelere) sahiptir.

Eğer $k$ bir rasyonel sayı ise, örneğin $k = p / q$ indirgenemez kesir olarak ifade edilirse, eğri $p$ tepe noktasına sahiptir.

Eğriyi kapatmak ve 1. tekrarlayan deseni tamamlamak için:
$θ = 0$ 'dan $q$ 'ya kadar döngü
$α = 0$ 'dan $p$ 'ya kadar döngü
dış yuvarlanma çemberinin toplam döngüsü = $p + q$ döngüdür.

$p$ ve $q$ 'yu görmek için animasyon döngülerini sayın.

Eğer $k$ bir irrasyonel sayı ise, eğri asla kapanmaz ve büyük çember ile $R + 2 r$ yarıçaplı bir çember arasındaki uzayın yoğun alt kümesini oluşturur.

$OP$ $(x = 0, y = 0)$ orijininden (küçük çember üzerindeki $p$ noktasına) olan mesafe yukarı ve aşağı şu şekilde değişir;

R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r

burada

$R$ = büyük çemberin yarıçapı ve
$2 r$ = küçük çemberin çapıdır.

Episikloid örnekleri
$k = 1$ ; bir kardioid
$k = 2$ ; bir nefroid
$k = 3$ ; bir trefoiloid
$k = 4$ ; bir quatrefoiloid
$k = 2,1 = 21/10$
$k = 3,8 = 19/5$
$k = 5,5 = 11/2$
$k = 7,2 = 36/5$

Episikloid, epitrokoidin özel bir türüdür.

Bir tepe noktası olan episikloid kardioid, iki tepe noktası olan ise nefroiddir.

Bir episikloid ve onun eğeci (evolütü) benzerdir.^[3]

İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

Çözmek istediğimiz şeyin $p$ konumu olduğunu, $\alpha$ 'nın teğet noktadan hareketli $p$ noktasına olan açı olduğunu ve $\theta$ 'nın başlangıç noktasından teğet noktaya olan açı olduğunu varsayıyoruz.

İki döngü arasında kayma olmadığına göre, o zaman şunu elde ederiz;

\ell _{R}=\ell _{r}

Açının tanımına göre (yarıçap üzerindeki yay oranıdır), o zaman şunu elde ederiz;

\ell _{R}=\theta R

ve

\ell _{r}=\alpha r

Bu iki koşuldan şu özdeşliği elde ederiz;

\theta R=\alpha r

.

Buradan, $\alpha$ ve $\theta$ arasındaki ilişkiyi şu şekilde elde ederiz;

\alpha ={\frac {R}{r}}\theta

.

Şekilden, $p$ noktasının küçük çember üzerindeki konumunu açıkça görüyoruz.

x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

^ "Solidworks tutorial creating a Cycloid Epicycloid Curve". 31 Mayıs 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2023.
^ Chunlei Cao, Alastair Fletcher & Zhuan Ye (2015). "Epicycloids and Blaschke products". 18 Kasım 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2023.
^ Eric W. Weisstein, Epicycloid Evolute (MathWorld)
^ Pietrocola, Giorgio (2005). "Tartapelago". Maecla. 11 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2023.