Durgunluk noktası

Durgun noktalar, grafikdeki kırmızı noktalardır. Bu grafikteki, tüm noktalar ya göreceli maxima ya da göreceli minnimadır.

Matematikte, genellikle kalkülüste, durgunluk noktası ya da değişim noktası, bir tek değişkenli diferansiyellenebilir bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktadır (bir diğer deyişle fonksiyonun eğiminin sıfır olduğu noktadır). Öyle bir noktadır ki fonksiyon azalmayı ve artmayı bırakır o noktada. Birden çok değişkenli fonksiyonlar için durgunluk noktası fonksiyonun, tüm kısmi türevlerinin sıfır olduğu noktadır (bir diğer deyişle "gradyan"'nın sıfır olduğu noktadır).

Durgun noktalar, tek değişkenli fonksiyonların grafiklerinde kolayca gözlenebilirler. Bu noktalar x eksenine paralel olan noktalardır, grafikte. İki değişkenli fonksiyonlar için, durgunluk noktası, hem x hem de y eksenlerine paralel olan noktalardır.

Durgunluk noktaları, kritik noktalar and dönüm noktaları

Durgunluk noktası terimi, kritik noktası terimiyle karıştırılabilinir, bir fonksiyonun grafiğinin izdüşümü için. Kritik noktalar daha geneldir, durgunluk noktalarına göre. Bir fonksiyonun durgunluk noktası, x eksine olan izdüşümüne için grafiğinin kritik noktası denk gelir. Gel gelelim, y eksesine olan izdüşümü için bir grafiğin kritik noktası, o fonksiyonunun türevini tanımlı olmadığı yerlerdir (daha kesin olarak, sonsuza giden kısımlardır). Bu yüzden bazı yazarlar kritik noktalara herhangi bir izdüşüm için bakarlar.

Dönüm noktaları, fonksiyonun türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Dönüm noktaları hem göreceli maxima hem de göreceli minima olabilirler(ayrıca, yerel maximum ve yerel minimum, diye de bilinirler). Eğer fonksiyon diferansiyellenebilirse, o zaman dönüm noktaları durgunluk noktalarıdır, aynı zamanda; buna rağmen her durgunluk noktası, bir dönüm noktası değildir. Eğer fonksiyon iki kez diferansiyellenebilirse, o zaman dönüm noktası olmayan durgunluk noktaları yatay bükülme noktalarıdır. Örnek olarak, $x\mapsto x^{3}$ fonksiyonunun x=0 da bir durgunluk noktası vardır, ayrıca bir büküm noktasıdır ama dönüm noktası değildir.

Sınıflandırma

$C^{1}$ gerçel değerli fonksiyonun $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ yalıtık durgunluk noktası, 4 kısımda sınıflandırıldı, ilk türev testini kullanarak.

Boyun noktaları (rastlantısal dönüm ve büküm noktaları). Bu grafikte biri azalıyor diğeri artıyor.

• yerel minimum (minimum dönüm noktası veya göreceli minimum), eğer fonksiyonun türevi negatiften pozitife değişiyorsa;
• yerel maximum (maksimum dönüm noktası veya göreceli maximum) eğer fonksiyonun türevi pozitiften negatife değişiyorsa;
• yükselen büküm noktası (veya büküm) eğer fonksiyonun türevi her iki tarafta da pozitifse;
• azalan büküm noktası (or inflexion) eğer fonksiyonun türevi her iki tarafta da negatifse.

Eğer bir nokta ya yerel minimum ya da yerel maksimumsa, bu noktaya yerel ekstremum denir. Benzer şekilde, eğer bir nokta ya mutlak maksimum ya da mutlak minimumsa, bu noktaya mutlak ekstremum denir. Fermant'ın teorisini kullanarak, mutlak ekstremum, sınırda ya da durgunluk noktasında ortaya çıkmalı. ($C^{1}$ fonksiyonu için)

Eğri çizimi

Pozisyonu ve durgunluk noktasının doğasını belirlemek diferansiyallenebilir fonksiyonların eğrilerini çizmede yardımcı olur. f'(x) = 0 denklemini çözerek x koordinatlarının tüm durgunluk noktalarını bulabiliriz. Durgunluk noktasının özül doğası, x noktasındaki, bazı durumlarda ikinci dereceden türevine .f''(x) çalışarak belirlenebilir:

• Eğer f''(x) < 0, ise x'teki durgunluk noktası aşağı doğru içbükey ve maksimal ekstremumdur.
• Eğer f''(x) > 0, ise x'^teki durgunluk noktası yukarı doğru içbükey ve minimal ekstremumdur.
• Eğer f''(x) = 0, ise durgunluk noktasının doğası, başka yollarla bulunmak zorundadır. Örnek olarak, bazı noktalardaki işaret değişimine bakarak.

Durgunluk noktasını belirlemek için daha açık bir diğer yöntem de, fonksiyonun durgunluk noktaları arasındaki değerlerine bakarak yapılabilinir, eğer fonksiyon tanımlı ve devamlı ise durgunluk noktaları arasında.

Dönüm noktasının basit bir örneği için f(x) = x³ fonksiyonunu değerlendirebiliriz. Fonksiyonun sıfır noktasında açıkça bir içbükeylik var ve bunu yüksek matematiği kullanarak ispatlayabiliriz. Fonksiyonun ikinci türevi, her yerin devamlı olduğu, 6x ve x = 0 noktasında, f′′ = 0 ve bu noktada işaret değişiyor. Bu yüzden, x=0 noktası dönüm noktasıdır.

Daha genel olarak, gerçel değerli fonksiyonun durgunluk noktası f: Rⁿ → R, ilk türevinin sıfır olduğu x₀ noktalarının aynı zamanda gradyanlarıda sıfırdır.

Örnekler

f(x) = x⁴ fonksiyonu için, f'(0) = 0 ve f''(0) = 0 yazabiliriz. f''(0) = 0 olduğu halde, bu nokta dönüm noktası değildir, f'(x) noktasının negatiften pozitife değişiminden dolayı.

f(x) = sin(x) fonksiyonu için, f'(0) ≠ 0 ve f''(0) = 0 yazabiliriz. Bu durgunluk noktası değildir, ama dönüm noktasıdır. İçbükeylik, aşağı doğru içbükeylikten yukarı doğru içbükeyliğe değiştiğinden ve f'(x)'nın işareti değişmediğinden; pozitif kaldığından, dolayı durgunluk değil dönüm noktasıdır.

f(x) = x³ fonksiyonu için f'(0) = 0 ve f''(0) = 0 yazabiliriz. Bu nokta hem durgunluk hem de dönüm noktasıdır. İçbükeylik, aşağı doğru içbükeylikten yukarı doğru içbükeyliğe değiştiğinden ve f'(x)'nın işareti değişmediğinden; pozitif kaldığından, dolayı durgunluk değil dönüm noktasıdır.

Ayrıca bakınız

Optimizasyon