Doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemler

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Doğrusal ve zamanla değişmeyen (DZD) sistemler, tüm sistemler ailesinin en önemli alt kümesini oluşturmaktadır. Bunun nedeni sahip oldukları iki özelliğin (1-Doğrusallık ve 2-Zamanla Değişmemek) sinyal işleme alanında kullanılan en temel matematiksel operatörlerin (Fourier dönüşümleri, Konvolüsyon Operatörü, Sabit Katsayılı Doğrusal Diferensiyel Denklemler) doğası ile tam bir uyum sergilemesi ve böylece karmaşık problemlerin başarılı matematiksel çözümlerinin elde edilmesine olanak sağlamasıdır.[1]

Bir sistemin DZD olabilmesi için şu iki özelliği taşıması gerekli ve yeterli koşuldur:

1- Doğrusallık:

Giriş-Çıkış ilişkisi , şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan iki giriş sinyali ve ve bu sinyallere karşılık alınan çıkış tepkileri de ve olsun. Bu sisteme uygulanacak üçüncü bir girişi de şeklinde (linear kombinasyon) tanımlarsak, doğrusal bir sistemin çıkışının aşağıdakini sağlaması gerekir: (Süperpozisyon özelliği)

Burada a ve b sabit katsayıları karmaşık sayılar kümesine dahildir.

2- Zamanla Değişmeme:

Benzer şekilde, Giriş-Çıkış ilişkisi , şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan bir giriş ve karşılık gelen çıkış olsun. İkinci bir girişi şu şekilde tanımlarsak: , bu sistemin zamanla değişmeyen özelliği gösterebilmesi için ikinci sinyal için çıkışının aşağıdaki özelliği sağlaması gerekir:

Benzeri bir tanım ayrık zamanlı DZD sistemleri için de yapılabilir ve şu şekilde özetlenebilir:

Ayrık zamanlı bir sistemin DZD olabilmesi için aşağıdaki iki özelliği sağlaması gerekli ve yeterli koşuldur:

1-

2-

Aşağıdaki örnek(ler) verilen bir sistemin DZD olup olmadığını, matematiksel olarak, nasıl bulabileceğimizi gösterir:

Örnek 1[değiştir | kaynağı değiştir]

Giriş çıkış özelliği olan sürekli zamanlı bir sistem DZD midir ?

Doğrusallık Testi[değiştir | kaynağı değiştir]

ve girişler için çıkışlar ve olsun, için çıkış

olduğundan, doğrusal değildir.

Zamanla Değişmeme Testi[değiştir | kaynağı değiştir]

girişi için çıkış ikinci bir girişi şeklinde tanımlarsak , ilgili çıkış: olduğu için sistem zamanla değişmeyen özelliği gösterir.

Dolayısı ile doğrusallık koşulunu sağlamayan bu sistem DZD değildir. Böylesi bir sistem için doğrusal olmayan-zamanla değişmeyen tanımı yapılabilir.

Örnek 2[değiştir | kaynağı değiştir]

Giriş çıkış özelliği olan ayrık zamanlı bir sistem DZD midir ?

Doğrusallık Testi[değiştir | kaynağı değiştir]

ve girişler için çıkışlar ve olsun, için çıkış

olduğundan, doğrusaldır.

Zamanla Değişmeme Testi[değiştir | kaynağı değiştir]

girişi için çıkış olsun, ikinci bir girişi şeklinde tanımlarsak , ilgili çıkış:

olduğu için sistem zamanla değişmektedir.

Dolayısı ile doğrusallık koşuluğunu sağladığı halde zamanla değişmeme koşulunu sağlamayan bu sistem DZD değildir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]