Curie yasası

Paramanyetik bir malzemede, malzemenin mıknatıslanması genel olarak uygulanan manyetik alanla orantılıdır. Fakat eğer malzeme ısıtılırsa, bu oran düşer: Belirli bir sıcaklığa kadar, mıknatıslanma sıcaklıkla ters orantılıdır. Bu kavram “Curie Yasası” tarafından kapsanmaktadır:

\mathbf {M} =C\cdot {\frac {\mathbf {B} }{T}},

Formülde:

\mathbf {M}

:En son elde edilen mıknatıslanma

\mathbf {B}

:Manyetik Alan, birimiTesla

T

:Salt Sıcaklık, Birimi kelvin

C

:Malzemeye özgü Curie Katsayısı.

Bu ilişki Pierre Curie tarafından deneysel olarak; sonuçları, doğru tahmin edilmiş modellere uydurarak keşfedilmiştir. Bu yasa sadece yüksek sıcaklıklar ya da zayıf manyetik alanlar için geçerlidir. Aşağıdaki derivasyonların da gösterdiği gibi, mıknatıslanma düşük sıcaklığın karşıt limiti veya güçlü bir manyetik alanda doygunluğa ulaşır.

Kuantum Mekaniği ile Derivasyonu

Paramanyetik malzemenin mıknatıslanmasının sıcaklığın tersiyle gösterilmiş fonksiyonu.

Paramanyetik mıknatısların basit matematik modellemeri, birbirleriyle etkileşmeyen parçacıkların derlenmesine odaklanır. Her parçacığın ${\vec {\mu }}$ ile kazandığı bir manyetik momenti vardır.Manyetik alan içerisindeki manyetik momentin enerjisi aşağıdaki formüldeki gibidir.

E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}.

İki Durumlu parçacıklar(Spin1-2)

İşlemi basitleştirmek için, 2 durumlu parçacıklarla çalışacağız: bu sayede parçacık ya manyetik momente destek olacak ya da ona karşı çıkacak. Bu sayede manyetik momentin mümkün olan değerleri $\mu$ and $-\mu$ dur. Böyleyken, parçacığın sadece 2 olası enerjisi olabilir:

E_{0}=-\mu B

Ve

E_{1}=\mu B.

Ne zaman birisi paramanyetik mıknatısın, mıknatıslanmasına baksa, ilk baktığı şey parçacığın dıştaki manyetik alanla kendisini aynı yöne getirip getiremediğidir. Diğer bir deyişle, mıknatıslanmanın( $\mu$ :) beklenen değerine bakılır

\left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu  \over Z}\sinh(\mu B\beta ),

Burada konfigürasyonun olasılığı kendisinin Boltzmann faktörüyle verilir ve ayrılım fonksiyonu $Z$ ise bize olasılıklar için gerekli olan düzgeleme katsayısını temin eder. (Bu sayede tüm olasılıklarım toplamı bir edebilir.) Bir parçacık için ayrılım fonksiyonu:

Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right).

Bu sayede, bu basit durumda elimizde şu denklem kalır.

\left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right).

Bu tek bir parçacığın mıknatıslanmasıdır. Katı maddenin toplam mıknatıslanması aşağıdaki denklemle bulunur.

$M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)$

Yukarıdaki formül Langevin paramanyetik denklemi olarak bilinmektedir.

Pierre Curie, bu kanununun, deneyinde kullandığı yüksek sıcaklık ve düşük manyetik alanlar için de uygulanabilen yaklaşımını bulmuştur. Şimdi yüksek sıcaklık ( $T$ ) ve düşük manyetik alanda( $B$ ) mıknatıslanmanın durumuna bakalım. Sıcaklık artıp manyetik alan azaldıkça, hiperbolik tanjantın argümanı azalmaktadır. Diğer bir şekilde görmek için:

\left({\mu B \over kT}\right)\ll 1

Zaman zaman buna Curie rejimi de denmektedir. Şunu da biliyoruz ki, şayet $|x|\ll 1$ , o zaman

\tanh x\approx x

Böylece

$\mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={N\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},$

Denklemden çıkan Curie katsayısı: $C=N\mu ^{2}/k$ . Zıt durumdaysa(düşük sıcaklık, büyük manyetik alan), $M$ , $N\mu$ nün maksimum değerine yaklaşır ki bu da tüm parçacıkların uygulanan manyetik alanla aynı hizaya girmesi demek.

Genel Durum

Parçacığın rastgele bir dönüşü(rastegel bir spin numarası) olduğunda, formül biraz daha karmaşık bir hal alır. Düşük manyetik alanlar veya yüksek sıcaklıklarda, dönüş(spin) Curie yasasını

C={\frac {\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}Ng^{2}J(J+1)

^[1]

İfadesi ile takip eder. Buarada $J$ , toplam açısal momentum kuantum sayısını ve $g$ is dönüşün g-faktörünü göstermektedir. (Öyle ki $\mu =gJ\mu _{B}$ manyetik momenttir.). Bu daha genel formülü ve onun çıkarılışı için(yüksek manyetik alan ve düşük sıcaklığı da içeren haliyle) Brillouin fonksiyonu makalesine bakınız. Dönüş sonsuza yaklaştıkça, mıknatıslanma formülü bir sonraki kısımda hesaplanan klasik değere yaklaşmaktadır.

Klasik istatistiksel mekanikle olan çıkarım

Paramagnetonların(basit şekilde, paramanyetizmaya sebep olan parçacıklar), klasik bir biçimde, serbestçe dönen manyetik momentler olduğunu düşünürsek, alternatif bir yaklaşım da mümkündür. Böyle bir durumda, bu parçacıkların pozisyonlarını küresel koordinatlardaki açılarıyla belirlenebilir ve bir tanesinin enerjisi aşağıdaki formülle bulunur.

E=-\mu B\cos \theta ,

\theta

: Manyetik Momentle, manyetik alan alan arasındaki; z koordinatını gösteriyor kabul edilen açı

Buna bağlı ayrılım fonksiyonu:

Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).

Değerin açıya( $\phi$ ) bağlı olmadığı gözüküyor. Bu sayede $y=\cos \theta$ değişimini yapabiliriz:

Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}

Şimdi, mıknatıslanmanın z koordinatındaki elemanının beklenen değeri(diğerleri açı üzerinden alınan integral itibarıyla, beklendiği gibi sıfıra gidecek) aşağıdaki formüldeki gibidir.

\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].

İşlemi basitleştirmek için, üstteki formül $Z$ nin türevi şeklinde yazılabilir

\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over ZB}\partial _{\beta }Z.

(Bu yaklaşım üstteki model için de kullabilir, fakat işlem zaten basit olduğundan çok faydalı değil.)

Çıkarımı devam ettirirsek:

\left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),

L

: Langevin Fonksiyonu :

L(x)=\coth x-{1 \over x}.

Bu fonksiyon küçük $x$ değerleri için tekilmiş gibi gözükebilir fakat değildir. Çünkü formüldeki tekil ifadeler birbirini götürür. Aslında, küçük değerler için bunun davranışı $L(x)\approx x/3$ dır. Böylece Curie sınırı halen geçerli olmakla birlikte, Curie katsayısı 3 kat daha küçüktür. Benzer şekilde, fonksiyon, argümanının yüksek değerleri için, $1$ de doygunluğa ulaşır. Ters sınır da benzer bir şekilde düzelir.