Catalan sayıları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Katalan sayıları, kombinatorik matematikte birçok problemin çözümünde kullanılabilen özel bir sayı dizisi. Adını Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan(1814-1894)’dan alan bu dizinin terimleri,

C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}  \qquad n\ge 0  \mbox{ için}.

formülüyle bulunur. Alternatif bir formül olan

C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n+1} \quad n\ge 0 \mbox{ için },
C_n’in bir doğal sayı olduğunu bir önceki formülden daha açık bir şekilde gösterir.

Katalan sayılarının her biri, kendinden önceki terimlere bağlıdır. Yani :C_0=1 alınır ve diğerleri için

\quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad n\ge 0 \mbox{ için };

uygulanır.

Hesaplamayı kolaylaştıran bir başka formül ise

\quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n 'dir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

1. 3 çift parantez, bir cümle içinde kaç farklı şekilde bulunabilir?

Cevap C_3=5 olacak ve parantezler şu şekillerde kullanılabilecektir:

((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()())

2. 3 dallı bir ikili ağaç, kaç farklı şekilde çizilebilir?

Cevap yine C_3=5 ’tir.

Catalan number binary tree example.png

3. 4x4’lük, karelere bölünmüş bir alanda, sol alt köşeden sağ üst köşeye kaç farklı şekilde çıkılabilir?

C_4=14

Catalan number 4x4 grid example.svg

4. Bir altıgen, köşegenler yardımıyla oluşturulmuş üçgenlere kaç farklı şekilde ayrılabilir?

C_4=14

Catalan-Hexagons-example.svg

5. 1’den 4’e kadar olan sayılar, sıralı bir üçlü oluşturmamak kaydıyla kaç farklı şekilde yan yana getirilebilir?

C_4=14

{1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4132, 4213, 4231, 4312,4321}

6. 4 basamaklı bir merdiven, 4 karoyla kaç farklı şekilde kaplanabilir?

C_4=14

Catalan stairsteps 4.svg

7. nxn boyutlu bir A matrisinde, her a_{ij}=C_{i+j-2} ise, o matrise Hankel matrisi denir ve determinant, boyuttan bağımsız olarak daima 1’dir.


\det\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132\end{bmatrix} = 1.
\det\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 14 \end{bmatrix} = 1.

Katalan sayılarının sayma problemlerindeki (Kombinatorik) uygulamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu dizinin terimleri, kombinatorik matematiğin problemlerini çözmede fayda sağlar. Yukarıda gördüğümüz örnekler bunlardan bazılarıdır. Farklı başlangıç değerleri için problemin cevabı, başlangıç değerini n yerine yazarak elde edilen Katalan sayısına eşit olur.

C_n ;

  • n çift parantezin kaç farklı şekilde düzgün konumlanabileceğini, (düzgün konumlanmakla kastedilen, açılan her parantezin kapanması ve bir parantez açılmadan kapatma parantezi konmamasıdır.)
  • n+1 dallı bir ikili ağacın kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,
  • nxn karelik bir alanda, diagonalin üzerine çıkmayacak şekilde, sol alt köşeden sağ üst köşeye kaç farklı şekilde ulaşılabileceğini,
  • n+2 kenarlı bir konveks çokgenin, köşegenler aracılığıyla kaç üçgene bölünebileceğini,
  • 1’den n’e kadar olan sayıların, sıralı üçlü oluşturmamak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebileceğini,
  • n basamaklı bir merdivenin, n tane karoyla kaç farklı şekilde kaplanabileceğini,
  • {1,…,n} kümesinin kesişmeyen kısımlarının sayısını,
  • 2xn boyutlu bir standart Young tablosunun kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,


Ve bunlara benzer sayma problemlerinin nasıl çözülebileceğini gösterir.,

Formülün İspatları[değiştir | kaynağı değiştir]

1.İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu ispat, Dyck kelimelerinin(baştan sona doğru nereden bölünürse bölünsün, X’lerin sayısının Y’lerden az olmadığı, X ve Y’den oluşan kelimeler) yazılışına dayanır. Bu durumda C_n , kurala uygun şekilde yazılmış kelimelerin sayısıdır. Bu kurala uygun, c ve c+ ’lardan oluşan, (boş da olabilen) bir kelime oluşturur ve c’yi c=[c1]c2 şeklinde yazarsak, c+ için uygun olan yerlerin toplamı,

C_0 = 1 \quad \text{ve} \quad C_{n+1} = \sum_{i=0}^n C_i\,C_{n-i}\quad n\ge 0.

b de dengeli, yani eşit sayıda c ve c+ içeren, 2n uzunluğunda bir kelime ve \textstyle B_n = {2n\choose n} = d_n C_n olsun. Yukarıda olduğu gibi, dengeli bir kelime de [c]b ya da ] c+ [b olarak yazılabilir, öylseyse

B_{n+1} = 2 \sum_{i=0}^n B_i C_{n-i}.

Yanlış fakat dengeli olan bir kelime de c] ile başlar, dolayısıyla,

B_{n+1} - C_{n+1} = \sum_{i=0}^n {2i+1 \choose i} C_{n-i} = \sum_{i=0}^n \frac{2i+1}{i+1} B_i C_{n-i}.

Bu eşitlikten ve Bi = di Ci ’den faydalanarak :C_{n+1} = 2 \sum_{i=0}^n d_i C_i C_{n-i} - \sum_{i=0}^n \frac{2i+1}{i+1} d_i C_i C_{n-i} = \sum_{i=0}^n \frac{d_i}{i+1} C_i C_{n-i}. elde edilir. Katsayılar Cn için verilen ilk formülle karşılaştırılınca di = i + 1 bulunur. O halde,

C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n}.

2.İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu ispat da Katalan sayılarının üçgenleme tanımını kullanarak Cn ve Cn+1 arasında bir bağıntı kurmamızı sağlar. n+2 kenarlı bir P çokgeninin bir kenarını temel olarak alalım. P çokgeni üçgenlenebiliyorsa 2n+1 kenarından birini seçip devam edebiliriz. Bu şekilde oluşturulabilecek (4n+2) Cn farklı durum vardır. Bir de n+3 kenarlı bir Q çokgeni verilsin. Yine bir kenarını temel aldığımızda, Q üçgenlenebilir bir çokgense, ilkinden farklı bir kenar daha seçebiliriz. Bu kez oluşturabileceğimiz (n+2) Cn+1 farklı durum vardır. Şimdi bu ikisi arasında bir geçiş yapabiliriz: ya Q çokgenini, bir kenarı işaretli olan bir üçgenini çıkararak küçülteceğiz ya da P’nin işaretli kenarının yerine bir üçgen koyarak P’yi genişletip bir kenarını işaretleyeceğiz. Öyleyse ;

(4n+2)C_n = (n+2)C_{n+1}.
C_n ’in binom formülü,:C_1=1 başlangıç koşulu ve bu bağıntı yoluyla doğrudan elde edilebilir.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

http://www.math.harvard.edu/~mantovan/ADMIN/catalan2.pdf

http://www.geometer.org/mathcircles/catalan.pdf

http://www.math.utah.edu/mathcircle/notes/mladen2.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number