Vikipedi, özgür ansiklopedi
3+2=5 Elmalar ders kitaplarındaki popüler örneklerdir.
Toplama , matematikte iki veya daha fazla çokluğun nicel değerlerinin bir arada ifade edilmesidir. Temel matematik işlemlerinden biridir. Artma veya çoğalma anlamı taşır.
Aritmetik'te toplama işlemi
Aritmetik 'te "+" işaretiyle gösterilir. Yapılan toplama işaretinin sonucu da eşittir işareti ile gösterilir.
Örneğin:
3
+
3
=
6
{\displaystyle 3+3=6}
(sözlü olarak "üç artı üç eşittir altı")
5
+
4
=
4
+
5
=
9
{\displaystyle 5+4=4+5=9}
(değişme özeliğine bakınız)
3
+
3
+
3
+
3
=
12
{\displaystyle 3+3+3+3=12}
Formel tanım
Toplama işlemi, yinelemeli olarak şöyle tanımlanabilir:
∑
i
=
a
b
g
(
i
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}
{\displaystyle \,}
,for b < a .
∑
i
=
a
b
g
(
i
)
=
g
(
b
)
+
∑
i
=
a
b
−
1
g
(
i
)
{\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}
,for b ≥ a .
Özdeşlikler
Aşağıdaki formüller, sonlu toplamlar için geçerlidir.
Genel özdeşlikler
∑
n
=
s
t
C
⋅
f
(
n
)
=
C
⋅
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)}
, sabit C
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
+
∑
n
=
s
t
g
(
n
)
=
∑
n
=
s
t
[
f
(
n
)
+
g
(
n
)
]
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
−
∑
n
=
s
t
g
(
n
)
=
∑
n
=
s
t
[
f
(
n
)
−
g
(
n
)
]
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
=
∑
n
=
s
+
p
t
+
p
f
(
n
−
p
)
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)}
{\displaystyle \;}
∑
n
∈
B
f
(
n
)
=
∑
m
∈
A
f
(
σ
(
m
)
)
{\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m))}
, bir önceki özdeşliğin genel formu
∑
n
=
s
j
f
(
n
)
+
∑
n
=
j
+
1
t
f
(
n
)
=
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)}
{\displaystyle \;}
∑
i
=
k
0
k
1
∑
j
=
l
0
l
1
a
i
,
j
=
∑
j
=
l
0
l
1
∑
i
=
k
0
k
1
a
i
,
j
{\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}}
{\displaystyle \;}
∑
k
≤
j
≤
i
≤
n
a
i
,
j
=
∑
i
=
k
n
∑
j
=
k
i
a
i
,
j
=
∑
j
=
k
n
∑
i
=
j
n
a
i
,
j
=
∑
j
=
0
n
−
k
∑
i
=
k
n
−
j
a
i
+
j
,
i
{\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
0
t
f
(
2
n
)
+
∑
n
=
0
t
f
(
2
n
+
1
)
=
∑
n
=
0
2
t
+
1
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
0
t
∑
i
=
0
z
−
1
f
(
z
⋅
n
+
i
)
=
∑
n
=
0
z
⋅
t
+
z
−
1
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)}
{\displaystyle \;}
∑
i
=
s
m
∑
j
=
t
n
a
i
c
j
=
∑
i
=
s
m
a
i
⋅
∑
j
=
t
n
c
j
{\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\sum _{i=s}^{m}a_{i}\cdot \sum _{j=t}^{n}c_{j}}
{\displaystyle \;}
∑
n
=
s
t
ln
f
(
n
)
=
ln
∏
n
=
s
t
f
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)}
{\displaystyle \;}
c
[
∑
n
=
s
t
f
(
n
)
]
=
∏
n
=
s
t
c
f
(
n
)
{\displaystyle c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}}
{\displaystyle \;}
(
∑
k
=
0
n
a
k
)
⋅
(
∑
k
=
0
n
b
k
)
=
∑
k
=
0
2
n
∑
i
=
0
k
a
i
b
k
−
i
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
k
∑
i
=
n
+
1
2
n
−
k
b
i
+
b
k
∑
i
=
n
+
1
2
n
−
k
a
i
)
{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)}
Bazı polinom terimlerin toplamları
∑
i
=
m
n
1
=
n
+
1
−
m
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}1=n+1-m}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
1
n
1
i
=
H
n
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}}
∑
i
=
1
n
1
i
k
=
H
n
k
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}}
∑
i
=
m
n
i
=
n
(
n
+
1
)
2
−
m
(
m
−
1
)
2
=
(
n
+
1
−
m
)
(
n
+
m
)
2
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}={\frac {(n+1-m)(n+m)}{2}}}
∑
i
=
0
n
i
=
∑
i
=
1
n
i
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}
∑
i
=
0
n
i
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
=
n
3
3
+
n
2
2
+
n
6
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}
∑
i
=
0
n
i
3
=
[
∑
i
=
0
n
i
]
2
=
[
n
(
n
+
1
)
2
]
2
=
n
4
4
+
n
3
2
+
n
2
4
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left[\ \!\sum _{i=0}^{n}i\,\right]^{2}=\left[\,\!{\frac {n\!\,(n+1)}{2}}\,\!\right]^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
i
4
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
(
3
n
2
+
3
n
−
1
)
30
=
n
5
5
+
n
4
2
+
n
3
3
−
n
30
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
i
p
=
(
n
+
1
)
p
+
1
p
+
1
+
∑
k
=
1
p
B
k
p
−
k
+
1
(
p
k
)
(
n
+
1
)
p
−
k
+
1
,
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1},}
B
k
{\displaystyle B_{k}}
Bernoulli sayısını temsil etmektedir.
Devamındaki formüller aşağıdaki formülden türetilmiştir.
∑
i
=
0
n
i
3
=
(
∑
i
=
0
n
i
)
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}}
herhangi bir doğal sayı ile başlayan seriler için genelleştirilirse (i.e.,
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
):
(
∑
i
=
m
n
i
)
2
=
∑
i
=
m
n
(
i
3
−
i
m
(
m
−
1
)
)
{\displaystyle \left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
m
n
i
3
=
(
∑
i
=
m
n
i
)
2
+
m
(
m
−
1
)
∑
i
=
m
n
i
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}+m(m-1)\sum _{i=m}^{n}i}
{\displaystyle \,}
Eksponensiyel terim içeren bazı toplama özdeşlikleri
IAşağıdaki özdeşliklerde, a 1'e eşit olmayan sabit bir sayıdır:
∑
i
=
m
n
−
1
a
i
=
a
m
−
a
n
1
−
a
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n-1}a^{i}={\frac {a^{m}-a^{n}}{1-a}}}
m < n
∑
i
=
0
n
−
1
a
i
=
1
−
a
n
1
−
a
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}
(indeksi
i
=
0
{\displaystyle i=0}
ile başlayan geometrik seriler)
∑
i
=
0
n
−
1
i
a
i
=
a
−
n
a
n
+
(
n
−
1
)
a
n
+
1
(
1
−
a
)
2
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
−
1
i
2
i
=
2
+
(
n
−
2
)
2
n
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}}
(a = 2)
∑
i
=
0
n
−
1
i
2
i
=
2
−
n
+
1
2
n
−
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+1}{2^{n-1}}}}
(a = 1/2)
Binom katsayı ve faktöriyel içeren bazı toplama özdeşlikleri
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
=
2
n
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
1
n
i
(
n
i
)
=
n
2
n
−
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
i
!
⋅
(
n
i
)
=
∑
i
=
0
n
n
P
i
=
⌊
n
!
⋅
e
⌋
,
n
∈
Z
+
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
(
i
k
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
a
(
n
−
i
)
b
i
=
(
a
+
b
)
n
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}}
, (Binom Teoremi )
∑
i
=
0
n
i
⋅
i
!
=
(
n
+
1
)
!
−
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
1
n
i
+
k
P
k
+
1
=
∑
i
=
1
n
∏
j
=
0
k
(
i
+
j
)
=
(
n
+
k
+
1
)
!
(
n
−
1
)
!
(
k
+
2
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}
{\displaystyle \,}
∑
i
=
0
n
(
m
+
i
−
1
i
)
=
(
m
+
n
n
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}
{\displaystyle \,}
Büyüme hızları
Birtakım yararlı yaklaştırım özdeşlikleri aşağıda theta notasyonu ile belirtilmiştir:
∑
i
=
1
n
i
c
∈
Θ
(
n
c
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}
-1'den büyük reel c sayıları için
∑
i
=
1
n
1
i
∈
Θ
(
log
n
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log n)}
∑
i
=
1
n
c
i
∈
Θ
(
c
n
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}
1'den büyük reel c sayıları için
∑
i
=
1
n
log
(
i
)
c
∈
Θ
(
n
⋅
log
(
n
)
c
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}
negatif-olmayan reel c sayıları için
∑
i
=
1
n
log
(
i
)
c
⋅
i
d
∈
Θ
(
n
d
+
1
⋅
log
(
n
)
c
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}
negatif-olmayan reel c, d sayıları için
∑
i
=
1
n
log
(
i
)
c
⋅
i
d
⋅
b
i
∈
Θ
(
n
d
⋅
log
(
n
)
c
⋅
b
n
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}
negatif-olmayan reel b > 1, c , d sayıları için