Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.
Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:
matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir:
.
Basit bir örnek olarak,
matrisinin determinantı şudur:
![{\displaystyle \det A=ad-bc.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2be3659ae0d7d226faa0e2a6a2acef7c48d476a)
Determinantın açık tanımı
Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir:
.
Determinant ve geometri
Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d), ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.
Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.
Determinantın temel özellikleri
- Birim matrisin determinantı birdir:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{vmatrix}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51db20b569859e7daea74c8f8fe934b54f50220)
- Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:
.
- det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A−1 tanımlıdır. Bu durumda:
.
- A ve B benzer matrisler olsun:
ve dönüşüm matrisi X in tersi
tanımlı olsun. Bu durumda:
.
- Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:
.
- Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:
.
Kalıp Matrisler (Blok matrisler)
Boyutları n×n, n×m, m×n, ve m×m olan A, B, C, ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C, ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&0\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\0&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(A)\det(D)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c0251f8e8f2ecc49e94e69cff4ad1479199d44)
Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&0\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {I}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathsf {I}}&{\mathsf {A}}^{-1}{\mathsf {B}}\\0&{\mathsf {D-CA^{-1}B}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbe9babc3506659e285a81c02c6eca04d8f88e8)
denkliği yazılabilir, ve buradan determinant
![{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(A)\det(D-CA^{-1}B)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55106bc419845ff7ee49e1f59d464cc68f9d25f6)
şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etimiş oluruz.
Ayrıca,
C ve D'nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise,
.
A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise,
.
B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise,
.
A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise,
.
Notlar