Vieta formülleri

Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.

Vieta formülleri

Eğer

$P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

derecesi $n\geq 1$ olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}$ sayıları kompleks, ve $a_{n}$ sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre $P(X)$ $n$ (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler: $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

Anlamı, $P(X)$'in $k$ tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı $(-1)^{k}a_{n-k}/a_{n}$'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

şeklinde her $k=1,2,\dots ,n.$ yazabiliriz.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak $P(X)=aX^{2}+bX+c$ şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, $P(X)=0$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.

Vieta formüllerinin ispatı

Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir:

$a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$

($x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarıp, $X.$'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterebilir.

Ayrıca bakınız

• Cebirsel Denklem Çözümleri ve Vieta Formülleri
• en:Viete (İngilizce)
• en:Second Degree Polynomial (İngilizce)
• en:Rational root theorem (İngilizce)
• en:Fundamental theorem of algebra (İngilizce)

Kaynaklar

• Erzen, Ömer R. (2008). Cebirsel Bir Denklemin Kökleriyle Katsayıları Arasındaki Iliskinin Incelenmesi, 19 sf., Çukurova Üniversitesi, Adana.
• Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I.
• Djukić, Dušan, et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY.