Bileşke fonksiyon: Revizyonlar arasındaki fark
[kontrol edilmemiş revizyon] | [kontrol edilmemiş revizyon] |
Değişiklik özeti yok |
Değişiklik özeti yok |
||
4. satır: | 4. satır: | ||
Eğer <math>f</math>, <math>X</math> kümesinden <math>Y</math> kümesine giden bir [[fonksiyon]]sa, <math>g</math> de <math>Y</math> kümesinden <math>Z</math> kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman <math>g\circ f</math> fonksiyonunu, her <math>x\in X</math> için, |
Eğer <math>f</math>, <math>X</math> kümesinden <math>Y</math> kümesine giden bir [[fonksiyon]]sa, <math>g</math> de <math>Y</math> kümesinden <math>Z</math> kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman <math>g\circ f</math> fonksiyonunu, her <math>x\in X</math> için, |
||
<math>(g\circ f)(x) = g(f(x))</math> |
::<math>(g\circ f)(x) = g(f(x))</math> |
||
kuralıyla tanımlanan <math>X</math> kümesinden <math>Z</math> kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona <math>g</math> ve <math>f</math> fonksiyonlarının [[bileşkesi]] adı verilir. (İngilizcesi "composition"). |
kuralıyla tanımlanan <math>X</math> kümesinden <math>Z</math> kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona <math>g</math> ve <math>f</math> fonksiyonlarının [[bileşkesi]] adı verilir. (İngilizcesi "composition"). |
||
10. satır: | 10. satır: | ||
Demek ki bileşke, |
Demek ki bileşke, |
||
<math>f: X\longrightarrow Y</math> ve <math>g: Y\longrightarrow Z</math> |
::<math>f: X\longrightarrow Y</math> ve <math>g: Y\longrightarrow Z</math> |
||
fonksiyonlarından, |
fonksiyonlarından, |
||
<math>g\circ f: X\longrightarrow Z</math> |
::<math>g\circ f: X\longrightarrow Z</math> |
||
fonksiyonunu üretir. |
fonksiyonunu üretir. |
||
28. satır: | 28. satır: | ||
'''Örnek:''' <math>X=Y=Z=R</math> (gerçel sayılar kümesi) olsun. <math>f</math> fonksiyonu <math>f(x)=x^2</math> ve <math>g</math> fonksiyonu <math>g(x)=x+1</math> olarak tanımlansın. O zaman, |
'''Örnek:''' <math>X=Y=Z=R</math> (gerçel sayılar kümesi) olsun. <math>f</math> fonksiyonu <math>f(x)=x^2</math> ve <math>g</math> fonksiyonu <math>g(x)=x+1</math> olarak tanımlansın. O zaman, |
||
<math>(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1) = (x+1)^2</math> |
::<math>(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1) = (x+1)^2</math> |
||
dir. Ama |
dir. Ama |
||
<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2) = x^2+1</math> |
::<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2) = x^2+1</math> |
||
dir. Demek ki |
dir. Demek ki |
||
<math>f\circ g \neq g \circ f</math>, |
::<math>f\circ g \neq g \circ f</math>, |
||
yani bileşkenin [[değişme özelliği]] yoktur. Öte yandan bileşkenin - şimdi açıklayacağımız -- [[birleşme özelliği]] vardır: |
yani bileşkenin [[değişme özelliği]] yoktur. Öte yandan bileşkenin - şimdi açıklayacağımız -- [[birleşme özelliği]] vardır: |
||
<math>X,\,Y,\,Z,\,T</math> dört küme olsun. |
::<math>X,\,Y,\,Z,\,T</math> dört küme olsun. |
||
<math>f:X\longrightarrow Y</math>, |
::<math>f:X\longrightarrow Y</math>, |
||
<math>g:Y\longrightarrow Z</math>, |
::<math>g:Y\longrightarrow Z</math>, |
||
<math>h:Z\longrightarrow T</math> |
::<math>h:Z\longrightarrow T</math> |
||
üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edebiliriz: |
üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edebiliriz: |
||
<math>g\circ f: X \longrightarrow Z</math>, |
::<math>g\circ f: X \longrightarrow Z</math>, |
||
<math>h\circ(g\circ f): X \longrightarrow T</math>, |
::<math>h\circ(g\circ f): X \longrightarrow T</math>, |
||
<math>h\circ g: Y \longrightarrow T</math>, |
::<math>h\circ g: Y \longrightarrow T</math>, |
||
<math>(h\circ g)\circ f: X \longrightarrow T</math>. |
::<math>(h\circ g)\circ f: X \longrightarrow T</math>. |
||
Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani |
Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani |
||
<math>(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)</math> |
::<math>(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)</math> |
||
eşitliği geçerlidir. Bunu kanıtlayalım. <math>X</math> kümesinden herhangi bir <math>x</math> elemanı alalım ve her iki fonksiyonu da bu <math>x</math> elemanında değerlendirelim. |
eşitliği geçerlidir. Bunu kanıtlayalım. <math>X</math> kümesinden herhangi bir <math>x</math> elemanı alalım ve her iki fonksiyonu da bu <math>x</math> elemanında değerlendirelim. |
||
<math>((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ g)(f(x))= h(g(f(x)))</math> |
::<math>((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ g)(f(x))= h(g(f(x)))</math> |
||
ve |
ve |
||
<math>(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x)) = h(g(f(x))). </math> |
::<math>(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x)) = h(g(f(x))). </math> |
||
Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan, sol tarafları da eşittir, yani |
Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan, sol tarafları da eşittir, yani |
||
<math>((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ (g\circ f))(x)</math>. |
::<math>((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ (g\circ f))(x)</math>. |
||
Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani <math>(h\circ g)\circ f= h\circ (g\circ f)</math> eşitliği çıkar. |
Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani <math>(h\circ g)\circ f= h\circ (g\circ f)</math> eşitliği çıkar. |
Sayfanın 09.55, 5 Ekim 2007 tarihindeki hâli
Bu madde, Vikipedi biçem el kitabına uygun değildir. (Mart 2007) |
Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi için alakalı konuda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. |
Eğer , kümesinden kümesine giden bir fonksiyonsa, de kümesinden kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman fonksiyonunu, her için,
kuralıyla tanımlanan kümesinden kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona ve fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir. (İngilizcesi "composition").
Demek ki bileşke,
- ve
fonksiyonlarından,
fonksiyonunu üretir.
Dikkat: yazılımında ve 'nin sıralamalarına dikkat edin!
İkinci Dikkat: ve fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için fonksiyonunun varış kümesi, fonksiyonunun kalkış kümesine eşit olmalıdır.
Eğer , kümesinden kümesine, de kümesinden kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem fonksiyonundan, hem de fonksiyonundan söz edebiliriz.
Bileşke, 'ten 'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca Fonk kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.
Örnek: (gerçel sayılar kümesi) olsun. fonksiyonu ve fonksiyonu olarak tanımlansın. O zaman,
dir. Ama
dir. Demek ki
- ,
yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin - şimdi açıklayacağımız -- birleşme özelliği vardır:
- dört küme olsun.
- ,
- ,
üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edebiliriz:
- ,
- ,
- ,
- .
Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani
eşitliği geçerlidir. Bunu kanıtlayalım. kümesinden herhangi bir elemanı alalım ve her iki fonksiyonu da bu elemanında değerlendirelim.
ve
Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan, sol tarafları da eşittir, yani
- .
Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani eşitliği çıkar.