Terim testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte terim testi, ıraksaklık testi veya ıraksaklık için n'inci terim testi[1] bir sonsuz serinin ıraksaklığını belirlemenin basit bir yöntemidir:

  • \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 ise veya limit yok ise, o zaman \sum_{n=1}^\infty a_n ıraksar.

Çoğu yazar bu teste isim vermez veya verirlerse de kısa bir isim verir. [2]

Kullanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha güçlü yakınsaklık testlerinin aksine, terim testi kendi başına bir serinin yakınsak seri olduğunu ifade etmez. Bilhassa, testin tersi doğru değildir. Bunun yerine

  • \lim_{n \to \infty} a_n = 0 ise, o zaman \sum_{n=1}^\infty a_n yakınsayabilir de yakınsamayabilir de.

denilebilir. Harmonik seri, terimleri 0'a giden ancak ıraksak olan bir serinin klasik bir örneğidir. [3] Harmonik serilerin daha genel bir sınıfı olan p-serileri, yani

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},

testin muhtemel sonuçlarını ortaya çıkaran güzel bir örnektir:

  • p ≤ 0 ise, o zaman terim testi serinin yakınsak olduğunu söyler.
  • 0 < p ≤ 1 ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri integral testi ile ıraksaktır.
  • 1 < p ise, o zaman terim testi sonuçsuzdur; ancak seri yine integral testi ile yakınsaktır.

Kanıtlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Test genelde devrik biçimde kanıtlanır:

  • \sum_{n=1}^\infty a_n yakınsarsa, o zaman \lim_{n \to \infty} a_n = 0 olur.

Limit manipülasyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

sn serini kısmi toplamları ise, o zaman serinin yakınsaması varsayımı, belli bir s için

\lim_{n\to\infty} s_n = s

anlamına gelir. O zaman[4]

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = s-s = 0

olur.

Cauchy ölçütü[değiştir | kaynağı değiştir]

Serinin yakınsadığı varsayımı Cauchy yakınsaklık testini sağladığı anlamına gelmektedir: Her \varepsilon>0 için bir N sayısı vardır öyle ki

|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon

ifadesi n > N ve p ≥ 1 için tutar. p = 1 koymak ise tanımın ifadesini[5], yani

\lim_{n\to\infty} a_n = 0

ifadesini kurtarır.

Kapsam[değiştir | kaynağı değiştir]

Terim testinin en basit çeşiti gerçel sayıların sonsuz serilerine uygulanır. Üstteki iki kanıt, Cauchy ölçütünü veya limitin doğrusallığını kullanarak, diğer herhangi bir normlu vektör uzayında da geçerlidir.[6]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Kaczor sf.336
  2. ^ Mesela, Rudin (sf.60) sadece devrik biçimden bahseder ve isimlendirmez. Brabenec (sf.156) n'inci terim testi olarak adlandırır. Stewart (sf.709) Iraksaklık testi demektedir.
  3. ^ Rudin sf.60
  4. ^ Brabenec sf.156; Stewart sf.709
  5. ^ Rudin (sf.59-60) Cauchy ölçütünün başka bir ifadesini kullanarak bu kanıt fikrini kullanır.
  6. ^ Hansen sf.55; Şuhubi sf.375

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Brabenec, Robert (2005), Resources for the study of real analysis, MAA, ISBN 0-88385-737-5 
  • Hansen, Vagn Lundsgaard (2006), Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific, ISBN 981-256-563-9 
  • Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003), Problems in Mathematical Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2050-8 
  • Rudin, Walter (1976) [1953], Principles of mathematical analysis (3 bas.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X 
  • Stewart, James (1999), Calculus: Early transcendentals (4 bas.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-36298-2 
  • Şuhubi, Erdoğan S. (2003), Functional Analysis, Springer, ISBN 1-4020-1616-6