Cauchy yakınsaklık testi

Cauchy yakınsaklık testi, sonsuz serilerin yakınsaklığını bulmak için kullanılan test yöntemlerinden birisidir.

$\sum_{i=0}^\infty a_i$

serisi ancak ve ancak şu koşulda yakınsaktır:

Her $\varepsilon>0$ için bir N$\in\mathbb{N}$ sayısı varsa öyle ki

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon$

ifadesi $n > N$ olan tüm $n$ 'ler ve $p \geq 1$ için tutsun.

Bu testin çalışmasında bir sakınca yoktur çünkü seriler ancak ve ancak kısmi toplamları yani

$s_n:=\sum_{i=0}^n a_i$

bir Cauchy dizisiyse yakınsaktır. Cauchy dizisinin tanımı ise şudur: Her $\varepsilon>0$ için bir N sayısı vardır öyle ki her n, m > N için

$|s_m-s_n|<\varepsilon$

sağlanır.

m > n varsayabiliriz ve bu yüzden p = m - n olarak alabiliriz. Seri ise ancak ve ancak

$|s_{n+p}-s_n|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon$

ise yakınsaktır.

Ayrıca bakınız

• Seri (matematik)
• Yakınsak seriler

Bu makale PlanetMath'deki Yakınsaklık için Cauchy ölçütü maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.