Cauchy yakınsaklık testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Cauchy yakınsaklık testi, sonsuz serilerin yakınsaklığını bulmak için kullanılan test yöntemlerinden birisidir.

\sum_{i=0}^\infty a_i

serisi ancak ve ancak şu koşulda yakınsaktır:

Her \varepsilon>0 için bir N\in\mathbb{N} sayısı varsa öyle ki

|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon

ifadesi n > N olan tüm n 'ler ve p \geq 1 için tutsun.

Bu testin çalışmasında bir sakınca yoktur çünkü seriler ancak ve ancak kısmi toplamları yani

s_n:=\sum_{i=0}^n a_i

bir Cauchy dizisiyse yakınsaktır. Cauchy dizisinin tanımı ise şudur: Her \varepsilon>0 için bir N sayısı vardır öyle ki her n, m > N için

|s_m-s_n|<\varepsilon

sağlanır.

m > n varsayabiliriz ve bu yüzden p = m - n olarak alabiliriz. Seri ise ancak ve ancak

|s_{n+p}-s_n|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon

ise yakınsaktır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu makale PlanetMath'deki Yakınsaklık için Cauchy ölçütü maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.