Merkezsel limit teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bu sayfa, başka dilde bir Vikipedi'den çevrilmektedir.
Siz de yardım etmek istiyorsanız ya da çeviri yarıda kalmışsa, çalışmaya katılan kişilerle iletişime geçip, sayfanın durumunu onlara sorabilirsiniz.
Sayfanın geçmişine baktığınızda, sayfa üzerinde çalışma yapanları görebilirsiniz.

Merkezsel limit teoremine göre büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenler (eğer sonlu varyans değerleri bulunuyorsa) yaklaşık olarak normal dağılım (yani Gauss-tipi dağılım ve çan şekilli dağılım) gösterir. Matemetik biçimsel bir ifade ile, bir merkezsel limit teoremi olasılık kuramı içinde bulunan bir zayıf yakınsama sonucu setidir. Bunların hepsi, birçok bağımsız aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin herhangi bir toplam değerinin limitte belirli bir "çekim gücü gösteren dağılıma" göre dağılım gösterme eğiliminde olduğu gerçeğini önerir.

Pratik gerçekte birçok anakütle, sonlu varyans gösteren dağılımlar ortaya çıkardıkları için, bu teorem normal olasılık dağılımının önemini açığa çıkartır.

Bu teoreminin kapsamını genişletip sonuçlarını genelleştiren eklere göre (Lindeberg koşulu, Lyapunov koşulu, Gnedenko durumu ve Kolmogorov durumu) sonlu varyans gosterme icin mutlaka aynı dağılım gerekmemektedir.

Konu başlıkları

1 Tarihçe
2 Klasik merkezsel limit teoremi
3 Teoremin alternatif şekillerde ifade edilmesi
- 3.1 Yoğunluk fonksiyonları
- 3.2 Pozitif rassal değişkenlerinin çarpımları
4 Lyapunov koşulu
5 Lindeberg koşulu
6 Uygulamalar ve örneğinler
- 6.1 Sinyal işleme
7 İç kaynaklar
8 Notlar

[değiştir] Tarihçe

Tijms (2004, p.169) ^[1] yazdığına göre:

“	Merkezsel limit teoreminin tarihi gelişmesi çok enterasandır. Bu teoremin ilk şekli Fransız matematikçi Abraham de Moivre tarafından 1733'te yayınlanarak gayet dikkati çeken bir yazıda bulunmakta ve bu yazıda bir yansız madeni paranın yazı-tura atış sonuçların da kaç defa yazı gelme sayısının dağılımının bir normal dağılım ile yaklaşık olarak açıklanabileceğini ortaya çıkartmıştır. Bu gelişme zamanı için çok zor görünüp nerdeyse unutulmuştur. Bu unutulmuş konu tanınmış Fransız matematikçisi Pierre-Simon Laplace'ın 1812'de yayınladığı çok tanınmış eseri Thoerie Analytque des Probabilites (Olasılıklar İçin Analitik Kuram)'da yeniden ortaya çıkarılmıştır; Laplace, De Moivre'in buluşunu daha da geliştirerek binom dağılımlarının yaklaşık olarak normal dağılım ile ifade edilip hesaplanabileceği sonucunu ortaya atmıştır. Ancak De Moivre gibi Laplace gelişmeleri de yaşadığı çağda cok az dikkati çekmiştir. Sonunda 19. yüzyılın içinde merkezsel limit teoreminin önemi anlaşılmış ve 1901 Rus matematikçisi Aleksandr Lyapunov bu teoremi genel bir şekilde açıklamış ve matematik olarak nasıl ortaya çıktığını çok kesin bir şekilde ispatlamıştır. Bugün merkezsel limit teoremi olasılık kuramının en önemli ögesi, gayriresmi kralı oldugu kabul edilmektedir."	”

[değiştir] Klasik merkezsel limit teoremi

Merkezsel limit teoremi olasılık kuramı için ikinci temel teorem olarak kabul edilmektedir. (Birinci temel teorem büyük sayılar yasasıdır.) Eğer X₁, X₂, X₃, ... n tane bağımsız ve aynı şekilde sonlu sayıda ve μ ortalaması ve σ² varyansı olan dağılım gösteren rassal değişkenler olsun. Merkezsel limit teoremine göre örneklem büyüklüğü n artış gösterdikce, orijinal dağılım her ne şekilde olursa olsun, limitte örneklem ortalamasının dağılımı ortalaması μ ve varyansi &sigma₂/n olan bir normal dağılıma yaklaşsınma gösterir.

Rassal değişkenlerin S_n ile ifade edilen toplamı şöyle verilsin:

S_n = X₁ + ... + X_n

ve

$Z_n = \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}\,,$

bir standart normal μ ortalamalı ve $\sigma \sqrt{n}$ varyanslı standart normal dağılım olsun.

Bu yakınsama teoremine göre limitte n-->∞, S'nin dagilimi oalan Z_n dağılımı N(0,1) standart normal dağılımına yaklaşır.

Bu demekti ki; eger Φ(z) N(0,1) dagiliminin yigmali dagilim fonksiyonu ise o halde her z reel sayisi icin

$\lim_{n \to \infty} \mbox{P}(Z_n \le z) = \Phi(z)\,,$

veya,

$\lim_{n\rightarrow\infty}\mbox{P}\left(\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/ \sqrt{n}}\leq z\right)=\Phi(z)\,,$

olur. Burada

$\overline{X}_n=S_n/n=(X_1+\cdots+X_n)/n\,$

orneklem ortalamasi olur.

Yillarca, buyuk orneklem hacmi pratik olarak n>29 olarak kabul edilmekteydi. Fakat 1990li yillarda yapilan arastirmalar ortaya cikarmistir ki bu her zaman gecerli bir pratik kural degildir. Eger anakutle dagilimi cok carpiklik gosteriyorsa Merkezsel Limitin gecerli oldugu buyuk orneklem hacmi 100 veya 250 bile olmasi gerekmektedir; anakutle ne kadar carpiklik gosterir ise gerek buyuk orneklem hacmi o kadar buyuk olmasi gerekmektedir. Bu sekilde carpiklik gosteren anakutleler pratikte cok nadir bulunabilirler, ama simulasyon ve komputer animasyon ile gosterilmistir ki student-t dagilimi tablolari icin secilen en yuksek orenklem hacmi olan n>29 yeterli buyuklukte degildir. ^[2]

^[3]

-->

[değiştir] Merkezsel limit teoreminin isbatı

[değiştir] Limite yakınsalama

[değiştir] Büyük sayılar yasasına ilişkisi

[değiştir] Teoremin alternatif şekillerde ifade edilmesi

[değiştir] Yoğunluk fonksiyonları

[değiştir] Pozitif rassal değişkenlerinin çarpımları

[değiştir] Lyapunov koşulu

Main: Lyapunov'un merkezsel limit teoremi.

[değiştir] Lindeberg koşulu

[değiştir] Uygulamalar ve örneğinler

[değiştir] Sinyal işleme

[değiştir] İç kaynaklar

[değiştir] Notlar

^ Henk Tijms, Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life, Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
^ See "Identification of Misconceptions in the Central Limit Theorem and Related Concepts and Evaluation of Computer Media as a Remedial Tool" by Yu, Chong Ho and Dr. John T. Behrens,rizona State University & Spencer Anthony, Univ. of Oklahoma Annual Meeting of the American Educational Research Association, presented April 19, 1995, paper revised in Feb 12, 1997, webpage (accessed 2007-10-25): CWisdom-rtf.
^ Marasinghe, M., Meeker, W., Cook, D. & Shin, T.S.(1994 August), "Using graphics and simulation to teach statistical concepts", Paper presented at the Annual meeting of the American Statistician Association, Toronto, Canada.

İstatistik ile ilgili bu madde bir taslaktır. Maddenin içeriğini geliştirerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

[0] Henk Tijms, Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life, Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

[nsize-1] See "Identification of Misconceptions in the Central Limit Theorem and Related Concepts and Evaluation of Computer Media as a Remedial Tool" by Yu, Chong Ho and Dr. John T. Behrens,rizona State University & Spencer Anthony, Univ. of Oklahoma Annual Meeting of the American Educational Research Association, presented April 19, 1995, paper revised in Feb 12, 1997, webpage (accessed 2007-10-25): CWisdom-rtf.

[Marasinghe-2] Marasinghe, M., Meeker, W., Cook, D. & Shin, T.S.(1994 August), "Using graphics and simulation to teach statistical concepts", Paper presented at the Annual meeting of the American Statistician Association, Toronto, Canada.

[1]

[2]

[3]