Liouville teoremi (karmaşık analiz)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Karmaşık analizde, Joseph Liouville'in ismine atfedilen Liouville teoremi, sınırlı her tam fonksiyonun sabit olmak zorunda olduğunu ifade eder. Yani, C 'deki her z için |f(z)| ≤ M olan pozitif bir M varsa ve f holomorfsa, f sabittir.

Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir.

Kanıt[değiştir | kaynağı değiştir]

Teorem, "holomorf fonksiyonlar analitiktir" gerçeğinden elde edilir. f, tam olduğu için, 0 etrafında Taylor serisi ile temsil edilebilir; yani

f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k.

Buradaki a_k terimi ise (Cauchy integral formülü yardımıyla)


a_k = \frac{f^{(k)}}{k!} = {1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r} {f( \zeta )\over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta

olarak yazılır (Cr, 0 merkezli, r yarıçaplı bir çemberdir.) Doğrudan


| a_k  | 
\leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r}    \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta^{k+1}  |} \,d\zeta
\leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r}    \frac{ M }{ r^{k+1}  } \,d\zeta
\leq \frac{M}{r^k},

tahmini yapılabilir (İkinci eşitsizlikte varsayımdaki her z için |f(z)| ≤ M eşitsizliği kullanılmıştır). Yol integralinde kullanılan r sayısının seçimi ise keyfidir. Bu yüzden, r sonsuza götürülürse, her k ≥ 1 için ak = 0 elde edilir. Böylelikle, f(z) = a0 olur ve teorem kanıtlanmış olur.

Sonuçlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Cebirin temel teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Cebirin temel teoreminin Liouville teoremine dayanan kısa bir kanıtı vardır.

Hiçbir tam fonksiyon bir diğer tam fonksiyona baskınlık kuramaz[değiştir | kaynağı değiştir]

Teoremin bir sonucu da "gerçekte farklı" fonksiyonların birbirine baskınlık kuramayacağıdır, yani f ve g tamsa ve her yerde |f| ≤ |g| ise , o zaman bir α sayısı için f = α.g olur. Bunu göstermek içinse

h = \frac{f}{g}\cdot

fonksiyonunu ele alalım. h 'nin tam bir fonksiyona uzatılabilmesi yetecektir ve böylece Liouville teoremi sonucu verecektir. h 'nin holomorf olması g-1(0) haricindeki noktalarda açıktır. Şimdi g(a) = 0 ise f(a) = 0 ifadesi de vardır. Analitiklik sayesinde, h sürekli, ve bu yüzden de holomorf olarak a üzerine uzatılabilir. Bu yüzden, h, g-1(0) üzerinde tam bir fonksiyona uzatılabilir.

Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz[değiştir | kaynağı değiştir]

Teorem aynı zamanda sabit olmayan eliptik bir f fonksiyonunun tanım kümesinin C 'de olamayacağını göstermekte de kullanılabilir. Olduğunu varsayalım. O zaman, a ve b, f 'nin a/b gerçel olmayacak şekilde iki periyodu ise, köşeleri 0, a, b ve a + b olan P paralelkenarını ele alalım. O zaman, f 'nin görüntüsü f(P) 'ye eşit olacaktır. f sürekli olduğu ve P tıkız olduğu için, f(P) de tıkız olacaktır ve bu yüzden sınırlı olacaktır. Böylece, f sabit olacaktır.

"Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz" gerçeği aslında Liouville'in 1847'de eliptik fonksiyonlar kuramını kullanarak kanıtladığı ifadedir. [1] Aslında Liouville teoremini kanıtlayan Cauchy'dir.[2]

Tam fonksiyonların genelde yoğun görüntüleri vardır[değiştir | kaynağı değiştir]

f sabit olmayan tam bir fonksiyonsa, o zaman görüntüsü C içinde yoğundur. Bu ifade Liouville teoreminden daha güçlü bir sonuç olarak güzükse de aslında teoremin kolay bir sonucudur. f 'nin görüntüsü yoğun olmasaydı, o zaman bir w karmaşık sayısı ve r > 0 gerçel sayısı olurdu öyle ki w merkezli, r yarıçaplı açık disk, f 'nin görüntüsünden bir eleman içermezdi. g(z) = 1/(f(z) - w) fonksiyonunu tanımlayalım.

(\forall z\in\mathbb{C}):|g(z)|=\frac1{|f(z)-w|}<\frac1r

olduğu için, g sınırlı, tam bir fonksiyon olurdu. Böylece, g sabit olurdu. Ancak, bu saçma olur. Bu yüzden, f 'nin görüntüsü yoğundur.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

{∞} ∪ C , C 'nin bir nokta tıkızlaştırılması olsun. C 'deki bölgelerde tanımlı holomorf fonksiyonlar yerine, {∞} ∪ C içindeki bölgeler düşünülebilir. Bu şekilde görüldüğünde, C ⊂ {∞} ∪ C 'de tanımlı tam fonksiyonlar için olası tek tekillik ∞ noktasıdır. f, ∞'un bir komşuluğunda sınırlı ise, o zaman ∞, f 'nin kaldırılabilir tekilliğidir; yani f, ∞'da birden patlayamaz veya hatalı davranamaz. Kuvvet serileri açılımı bağlamında, Liouville teoreminin tutması pek de sürpriz değildir.

Benzer bir şekilde, tam bir fonksiyonun ∞'da kutup noktaları varsa, yani ∞'un açık bir aralığında zn gibi patlıyorsa, o zaman f polinomdur. Liouville teoreminin bu uzatılmış versiyonu daha kesin bir dille ifade edilebilir: Yeteri kadar büyük z ler için |f(z)| ≤ M.|zn| ise, o zaman f, derecesi en fazla n olan bir polinomdur. Bu, şu şekilde kanıtlanabilir. Yine, f 'nin Taylor serisini ele alalım:

 f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k.

Teoremin kanıtında kullanılan tartışma

(\forall k\in\mathbb{N}):|a_k|\leqslant Mr^{n-k}

eşitsizliğini verir. Böylece, k > n ise

|a_k|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}Mr^{n-k}=0

olur. Bu yüzden, ak = 0 elde edilir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]