Kaldırılabilir tekillik

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Karmaşık analizde, bir kaldırılabilir tekillik veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği (fonksiyonun holomorf kalacağı şekilde) bir noktadır.

Mesela, z ≠ 0 için

 f(z) = \frac{\sin z}{z}

fonksiyonunun z = 0 'da tekilliği vardır. Bu tekillik, f(0) = 1 tanımlanarak kaldırılabilir. Sonuçtaki fonksiyon bir sürekli (holomorf) fonksiyondur.

Formel olarak, eğer U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir kümesi, a, U 'nun bir noktası, ve f : U - {a} → C holomorf ise; holomorf bir g : UC fonksiyonu f 'ye U - {a} üzerinde eşitse, o zaman a 'ya f nin kaldırılabilir tekilliği adı verilir. Böyle bir g varsa, "f, a üzerine holomorf bir şekilde genişletilebilir" denir.

Riemann teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaldırılabilir tekillikler üzerine Riemann teoremi bir tekilliğin ne zaman kaldırılabileceğini ifade eder.

Teorem. Aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:

i) f, a üzerine holomorf bir şekilde genişletilebilir.
ii) f, a üzerine sürekli bir şekilde genişletilebilir.
iii) Üzerinde f'nin sınırlı olduğu, a 'nın bir komşuluğu vardır.
iv) limza(z - a ) f(z) = 0.

i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) çıkarımları barizdir. iv) ⇒ i) 'i kanıtlamak için, hatırlamamız gereken bir fonksiyonun a noktasında holomorf olmasının a noktasında analitik olmasına denk olduğudur; yani bir kuvvet serisi temsiline sahip olmasıdır.


h(z) =
\begin{cases}
(z - a)^2 f(z) &  z \ne a ,\\
0              &  z = a .\\
\end{cases}

tanımını yapalım. O zaman,

h(z) - h(a) = (z - a)(z - a)f(z), \,

olur. Burada, varsayımla (z - a)f(z) fonksiyonu D üzerinde sürekli bir fonksiyon olarak görülebilir. Başka bir deyişle, h, D üzerinde holomorftur ve a etrafında Taylor serisine sahiptir:

h(z) = a_2 (z - a)^2 + a_3 (z - a)^3 + \cdots .

Bu yüzden,

g(z) = \frac{h(z)}{(z-a)^2}

f 'nin a üzerine holomorf genişlemesidir. Bu da iddiayı kanıtlar.

Tekilliklerin diğer çeşitleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçel değişkenli fonksiyonların aksine, holomorf fonksiyonlar korunmalı tekillikleri tamamen sınıflandırılabildiği için yeteri kadar katıdır. Holomorf bir fonksiyonun tekilliği ya aslında tekillik değildir; yani kaldırılabilir tekilliktir ya da aşağıdaki iki çeşitten biridir:

  1. Riemann teoreminin ışığında, kaldırılabilir olmayan bir tekillik verildiğinde, limza(z - a )m+1f(z) = 0 yapacak bir m doğal sayısının varlığı sorgulanabilir. Böyleyse, a 'ya f 'nin bir kutbu denir ve böyle en küçük bir m 'ye a 'nın mertebesi denir. Böylece, kaldırılabilir tekillikler kesinlikle mertebesi 0 olan kutuplardır. Holomorf bir fonksiyon kutuplarının yakınında düzgün bir şekilde patlama yapar.
  1. f 'nin a noktasındaki korunmalı bir tekilliği kaldırılabilir veya kutup değilse, o zaman bu nokta esaslı tekilliktir. Her açık delikli U - {a} kümesini, f 'nin karmaşık düzlemin açık ve yoğun bir altkümesine gönderdiği de gösterilebilir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]