Lambert W fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Lambert W Fonksiyonu sayfasından yönlendirildi)
Atla: kullan, ara

Matematikte, Lambert W fonksiyonu', aynı zamanda Omega fonksiyonu veya çarpım logaritması olarak da bilinen bir fonksiyon kümesidir. f(w) = wew fonksiyonunda ew üstel fonksiyon ve w herhangi bir karmaşık sayı olmak üzere, bu fonksiyonun tersinin şubelerini ifade eder.

z = W(z)e^{W(z)}
 Y = A e ^ A \; \Longleftrightarrow \; A = W(Y)
z(1+W)\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}=W\quad\text{for }z\neq -1/e.
\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}=\frac{W(z)}{z(1 + W(z))}\quad\text{for }z\not\in\{0,-1/e\}.
\left.\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}\right|_{z=0}=1.

W(x) Fonksiyonun integrali şu şekildedir.

\int W(a)\,{\rm d}a = a \left( W(a) - 1 + \frac{1}{W(a)} \right) + C.

Lambert W Fonksiyonun Serisi:


W (a) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ a^n = a - a^2 + \frac{3}{2}a^3 - \frac{8}{3}a^4 + \frac{125}{24}a^5 - \cdots
.

Doğal logaritma tabanı e w türünden özelliği: e^{W(a)}=\left ( \frac{a}{W(a)} \right )	İntegrali ise:

\int e^{W(a)}\,{\rm d}a = a^2 (1+2 W(a)) \frac{1}{4W(a)^2} + C.
Lambert W Fonksiyonun yaklaşık değeri:
W_0(x) \approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x)
Lamber W Fonksiyonun sürekli kesri:
xe^x=y \Rightarrow e^x=\frac{y}{x} \Rightarrow x=ln(\frac{y}{x}) şimdi bu denklemde sol taraftaki x i sağ taraftaki x in yerine sonsuza kadar yazılırsa sürekli kesir meydana gelir.
x = ln\cfrac{y}{ln\cfrac{y}{ln\cfrac{y}{lny_\ddots}}} o zaman xe^x=y \Rightarrow x=W(y) şimdi yerine yazılırsa sonuç: W(y)= ln\cfrac{y}{ln\cfrac{y}{ln\cfrac{y}{lny_\ddots}}}

Bazı Değerler

W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}{\rm{i}}

W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= -\ln a  \quad            \left(\frac{1}{e}\le a\le e\right)

W_{-1}\left(-\frac{\ln a}{a}\right)=-\ln a\quad            \left(a\geqslant e\right)

W_0\left(A{\ln A}\right)=\ln A\quad            \left(A\geqslant \frac1e\right)

W\left(-\frac{1}{e}\right) = -1

W\left(0\right) = 0\,

W\left(1\right) = \Omega=\frac{1}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1\approx 0.56714329\dots\, (Omega Sabiti)

W\left(e\right) = 1\,

W\left(-1\right) \approx -0.31813-1.33723{\rm{i}} \,

W'\left(0\right) = 1\,

W\left(2\right) = 0.852605502013725...\,

Lambert W Fonksiyonuyla ilgili örnekler:
Örnek : 1
f(x)exp(f(x))=y \Rightarrow f(x)=W(y)

yola çıkarak x.e^x=2 \Rightarrow x=W(2)
Örnek : 2
(m+8).exp(m+8)=ln5 \Rightarrow m+8=W(ln5) \Rightarrow m=W(ln5)-8
(Burada exp(a)=e^a demektir.)
Örnek : 3
x^x=6 \Rightarrow xlnx=ln6 burada hayal gücünü kullanarak her iki tarafın doğal logaritması alındı x=e^lnx şeklinde olursa ki bu örnek : 1 deki formüle benzetmek için. Kesinlikle ezberletme yok sadece örnek 1 deki formüle benzetmek yeterli.
[lnx]exp(lnx)=ln6 \Rightarrow ln(x)=W(ln6)  \Rightarrow x=exp(W(ln6)) (Burada lnx=f(x) e ve y=ln6 oldu.)
Örnek : 4
3^x=8x denkleminin çözümü için her iki tarafın doğal logaritması alınırsa xln3=ln(8x) \Rightarrow ln3=\frac{1}{x} ln(8x) \Rightarrow \frac{ln3}{8} =\frac{1}{8x} ln(8x) yandaki denklem 1/(8x) ile çarpıldı . Her iki tarafın -1 ile çarpılırsa -\frac{ln3}{8} =\frac{1}{8x} ln(\frac{1}{8x} )  \Rightarrow  \frac{1}{8x}=exp(ln\frac{1}{8x}) lambert W Fonksiyonuna uygun bir denklem elde edildi bu denklem -\frac{ln3}{8} = \frac{1}{8x}exp(ln\frac{1}{8x}) ln(\frac{1}{8x} )  \Rightarrow ln[\frac{1}{8x}]=W(-\frac{ln3}{8})  (Burada f(x)=ln(1/(8x)) ve y=-(ln3)/8 oldu formül uygulandı.) Son denklemde x çekilirse \frac{1}{8x}=exp[W(-\frac{ln3}{8})] \Rightarrow  x=\frac{1}{8.exp[W(-\frac{ln3}{8})]} olur.
Sonuç olarak: 3^x=8x \Rightarrow x=x=\frac{1}{8.exp[W(-\frac{ln3}{8})]} Bu değer W_0(y) ye göredir W_-1(y) değeride vardır.
ÖNEMLİ NOKTA
Yukarıdaki W(f(x)) fonksiyonların hepsi ProductLog(0, f(x))  göredir. Geneli ProductLog(a, b)=W_a(b)  demektir.
i=\sqrt{-1} olmak üzere
Örnek olarak W_n(10)  fonkisyonu hesap makinesiyle n=0 için W_0(10)=W(10)=1,7455...
n=1 için W_1(10)=0,7113...+i4,8577...
n=2 için W_2(10)=-0,0941...+i10,9870...
n=3 için W_3(10)=-0,5455...+i17,2471...
.
.
.
Örnekte görüldüğü gibi lambert W Fonksiyonun sadece bir çözümü yoktur. Çözüm kümesi birden çok olabilir.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]