Bell serisi

Matematik'te, Bell serisi formal kuvvet serisi aritmetik fonksiyon özellikleri çalışmasında kullanılır. Bell serisi Eric Temple Bell tarafından geliştirildi.

Verilen aritmetik fonksiyon $f$ ve bir asal $p$, ile formel kuvvet serisi $f_p(x)$, Bell serisi $f$ modül $p$ olarak adlandırılır:

$f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.$

iki çarpım fonksiyonu olarak gösterilebilir,eşdeğeri Bell serisidir; Bu bazen teklik teoremi olarak adlandırılır. Verilen çarpım fonksiyonu $f$ ve $g$,dir ama sadece ve sadece $f=g$ ise; bütün $p$ asalları için

$f_p(x)=g_p(x)$

iki seri çarpımı ( çarpım teoremidir.) ; herhangi iki aritmetik fonksiyon $f$ ve $g$,$h=f*g$ yazılırsa buna Dirichlet konvolusyon teoremi denir. her asal için $p$ için,:

$h_p(x)=f_p(x) g_p(x).\,$

Özelikle, bir Dirichlet ters önemsiz Bell serisi tarafından bulunur .

Eğer $f$ 'tamamen çarpımsal ise;

$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Örnekler

Bilinen bazı aritmetik fonksiyonların,bir tablo halinde ifadesi:

• Moebius fonksiyonu $\mu$ , $\mu_p(x)=1-x.$'dır
• Euler Totient $\phi$ $\phi_p(x)=\frac{1-x}{1-px}$'dır.
• çarpım eşdeğerliği Dirichlet konvolusyon $\delta$ $\delta_p(x)=1$'dır.
• Liouville fonksiyonu $\lambda$ $\lambda_p(x)=\frac{1}{1+x}$'dır
• kuvvet fonksiyonu Id_k $(\textrm{Id}_k)_p(x)=\frac{1}{1-p^kx}$'dır.burada, Id_k tam çarpım fonksiyonu $\operatorname{Id}_k(n)=n^k$'dır
• bölme fonksiyonu $\sigma_k$ $(\sigma_k)_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k) x+p^kx^2}$'dır.

Kaynakça

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3