Barrow eşitsizliği

Barrow eşitsizliği

Geometride Barrow eşitsizliği, bir üçgen içindeki rastgele bir nokta alındığında, bu nokta ile üçgenin köşeleri ve üçgenin kenarlarındaki belirli noktalar arasındaki mesafeleri ilişkilendiren bir eşitsizliktir. Adını Amerikalı bir matematikçi olan David Francis Barrow'dan almıştır.

Açıklama

$P$, $\triangle ABC$ üçgeninin içinde rastgele bir nokta olsun. $P$ ve $\triangle ABC$'den, $U$, $V$ ve $W$'yi, $\angle BPC$, $\angle CPA$ ve $\angle APB$'nin açıortaylarının sırasıyla $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarıyla kesiştiği noktalar olarak tanımlayın. Ardından Barrow eşitsizliği şunu belirtir:

$PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,$

Eşitlik sadece eşkenar üçgen durumunda sağlanır ve bu durumda $P$ üçgenin merkezidir.

İspat

$d_{1}=PA$, $d_{2}=PB$, $d_{3}=PC$, $l_{1}=PU$, $l_{2}=PV$, $l_{3}=PW$, $2\theta _{1}=\angle BPC$, $2\theta _{2}=\angle CPA$ ve $2\theta _{3}=\angle APB$ olsun. İspat edilmesi gereken ifade $d_{1}+d_{2}+d_{3}\geq 2(l_{1}+l_{2}+l_{3})$ olur. Aşağıdaki özdeşlikleri çıkarmak kolaydır;

$l_{1}={\frac {2d_{2}d_{3}}{d_{2}+d_{3}}}cos\theta _{1}$,

$l_{2}={\frac {2d_{1}d_{1}}{d_{3}+d_{1}}}cos\theta _{2}$,

$l_{1}={\frac {2d_{1}d_{2}}{d_{1}+d_{2}}}cos\theta _{3}$.

Aritmetik Ortalama-Geometrik Ortalama eşitsizliği ve yukarıdaki sonuçla, bu şu anlama gelir:

$l_{1}+l_{2}+l_{3}\leq {\sqrt {d_{2}d_{3}}}cos\theta _{1}+{\sqrt {d_{3}d_{1}}}cos\theta _{2}+{\sqrt {d_{1}d_{2}}}cos\theta _{3}\leq {\frac {1}{2}}(d_{1}+d_{2}+d_{3})$

İstenen ifade ispatlanmış olur.

Genelleştirme

Barrow eşitsizliği dışbükey çokgenlere kadar genişletilebilir. Köşeleri $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ olan dışbükey bir çokgen için $P$ çokgenin içindeki rastgele bir nokta ve $Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}$, $\angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}$açıortayları ile $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ ilişkili çokgen kenarlarının kesişimleri olsun, ardından aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

$\sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{k=1}^{n}|PQ_{k}|$

Burada $\sec(x)$ sekant fonksiyonunu belirtir. Üçgen durumu, yani $n=3$ için $\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2$ olduğundan eşitsizlik, Barrow eşitsizliğine dönüşür.

Tarihçe

Barrow, Erdös-Mordell eşitsizliğini güçlendirir
${\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}$

Barrow eşitsizliği, $PU$, $PV$ ve $PW$'nin $P$ noktasından üçgenin kenarlarına olan üç uzaklık ile değiştirilmesi haricinde aynı biçime sahip olan Erdős-Mordell eşitsizliğini güçlendirir. Adını David Francis Barrow'dan almıştır. Barrow'un bu eşitsizliğin kanıtı, 1937'de, Erdős-Mordell eşitsizliğini kanıtlayan American Mathematical Monthly dergisinde ortaya atılan bir probleme çözüm olarak yayınlandı. 1961 gibi erken bir tarihte "Barrow eşitsizliği" olarak adlandırıldı.

Daha basit bir kanıt daha sonra Louis J. Mordell tarafından verildi.

Ayrıca bakınız

• Geometride Euler teoremi
• Üçgen eşitsizliklerin listesi

Dış bağlantılar

• Hojoo Lee: Eşitsizliklerle İlgili Konular - Teoremler ve Teknikler
• Barrow's Inequality 4 Haziran 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ Wolfram Demonstrations Project

Konuyla ilgili yayınlar

• Malesevic, Branko & Petrovic, Maja. (2014). Barrow's Inequality and Signed Angle Bisectors. Journal of Mathematical Inequalities. 10.7153/jmi-08-40., Makale 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. veya Makale 10 Ağustos 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Liu, Jian. (2016). Refinements of the Erdös-Mordell inequality, Barrow’s inequality, and Oppenheim’s inequality. Journal of Inequalities and Applications. 2016. 10.1186/s13660-015-0947-2., Makale
• Liu, Jian. (2019). New Refinements of the Erdös–Mordell Inequality and Barrow’s Inequality, https://doi.org/10.3390/math7080726, Makale