Üretim fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Üreteç İşlevi sayfasından yönlendirildi)
Atla: kullan, ara

Matematikte üretim fonksiyonu veya üretim işlevi (İng. generating function) verilen bir dizinin girdilerinin bilgisini katsayılarında tutan bir biçimsel kuvvet serisidir.

Kullanım ve uygulama olanaklarına göre çeşitli üretim fonksiyonları vardır. Örneğin verilen bir an dizisine karşılık gelen adi üretim fonksiyonu ,üstel üretim fonksiyu, Lambert serisi, Bell serisi, ve Dirichlet serisi gibi her üretim fonksiyonu tipinin bir dizisi vardır, adi üretim fonksiyonu şöyle tanımlanır:

G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.

Bir an dizisi için üstel üretim fonksiyonu ise şöyledir:

G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}x^n.

Bir S örnek uzayı üzerinde negatif olmayan bir rassal değişken X için (yani her  s\in S için  X(s)\geq 0 )

G_X(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p(X(s)=n) x^n

serisine olasılık üreteç işlevi denir. Burada p harfi olasılık dağılımıdır.

Bir ürim fonksiyonu, yalnızca biçimsel olarak bir güç serisi olduğundan, her x değeri için yakınsak olmak zorunda değildir. Üreteç işlevinin kullanıldığı bağlam ve örneğe göre kimi zaman uygun düşen x değerleri için yakınsaklığı araştırılabilir ve bu x değerleri için eşit olduğu işlev yazılabilir. Örneğin, 1,1,1,\ldots dizisine karşılık gelen

\sum_{n=0}^{\infty}x^n

üretim fonksiyonu,  |x|<1 için \frac{1}{1-x} işlevine eşittir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Tam kare dizisi için üreteç fonksiyonu an = n2 dır:

Basit üretim fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

G(n^2;x)=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}

Üstel üretim fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

EG(n^2;x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{n^2x^n}{n!}=x(x+1)e^x

Bell serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty p^{2n}x^n=\frac{1}{1-p^2x}

Dirichlet serisi üretim fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

DG(n^2;s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^s}=\zeta(s-2)

Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu sayılarının pratik hesabının sınır tablosu negatif olmayan tamsayılarla hazırlanmış özel satır ve sütunlara özgüdür. Kolaylık olsun diye r satır ve c sütun; satır toplamı t_1,\ldots t_r dır. sütun toplamı s_1,\ldots s_c.'dır.I. J. Good [1],'ye göre x_1^{t_1}\ldots x_r^{t_r}y_1^{s_1}\ldots y_c^{s_c} katsayılarının sayı tablosu


\prod_{i=1}^{r}\prod_{j=1}^c\frac{1}{1-x_iy_j}.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Verilen özyineleme'li bir dizi için kapalı formül bulma. Örneğin Fibonacci sayıları düşünülebilir.
  • Diziler için özyineleme ilişkileri - Bir üreten fonksiyon şeklinde özyineleme formülü önerilebilir.
  • Diziler arasında ilişkileri bulma - iki üreten fonksiyonlu dizi varsa , bu dizilerin muhtemelen ortak bir formu vardır.
  • Dizilerinin asimtotik davranışı keşfetme.
  • Kimlikler içeren dizileri kanıtlama.
  • Kombinatorik içinde numaralandırma sorunlarını çözme ve çözümleri kodlama. Rook polinomları kombinatorikte uygulama için bir örnektir.
  • Sonsuz toplamları değerlendme.

Benzer kavramlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Polinomal öteleme,bir polinomu (katsayı 'sız) kabul eden değerleri bulmak. ;soyut bir durumda değişmeli cebir'deki Hilbert polinomu'dur

Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 1 Fundamental Algorithms (Third Edition) Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.9: Generating Functions, pp. 87–96.
  1. ^ Good, I. J. (1986). "On applications of symmetric Dirichlet distributions and their mixtures to contingency tables". The Annals of Statistics 4 (6): 1159–1189. 

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]