Totient

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara
φ(n) fonksiyonun ilk 1000 değeri

Totient (kısaca φ, n) sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayma sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden ile simgelendiği için Fi fonksiyonu olarak da anılabilir.

Örneğin, zira 10 ile dört sayma sayısı, hem 10'dan küçüktür, hem de 10 ile arasında asaldır: 1, 3, 7 ve 9.

Euler fonksiyonu, Euler Fermat teoreminde de kullanılır. Şöyle ki:

, a ile n aralarında asal ise. Dolayısıyla, , n'in bir tam katıdır.

Örneğin, , için sırasıyla , 10'un bir tam katıdır.

Totient fonksiyonu ayrıca RSA kriptografi sisteminde de kilit rol oynamaktadır.

Totient fonksiyonunun hesaplanması[değiştir | kaynağı değiştir]

Fonksiyonun yukarıda verilen tanımına göre ve eğer p bir asal sayıysa . Bunun yanında, totient fonksiyonunun çarpım özelliği de vardır: m ve n aralarında asallarsa . (Bu yargının ispatının anahattı: A,B ve C kümeleri sırasıyla m,n ve mn ile aralarında asal ve modlarının kalan kümesi olsun. Bu durumda, Çinlilerin kalan teoreminden yararlanılırsa göürülür ki, AxB ve C arasında eşleme olur.) Yani, fonksiyonunun değeri aritmetiğin temel teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Öyleyse,

için

Yukarıdaki formül bir Euler Çarpımı'dır ve genellikle

şeklinde yazılır.

Hesaplama Örneği[değiştir | kaynağı değiştir]

Yani yazıyla ifade edersek, 36'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. 36'nın yarısı olan 18 tane sayı 2 ile bölünür, dolayısıyla 36 ile aralarında asal değildir. Kalan 18 sayının da 3'te biri 3 ile bölünür. Bu durumda 36 sayı içerisinde 36 ile aralarında asal olan sadece 12 sayı kalır.

Fonksiyonun Bazı Değerleri[değiştir | kaynağı değiştir]

İlk birkaç değer aşağıdaki tabloda ve grafikte gösterilmiştir:

İlk 100 değerin grafiğe dökümü
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Fonksiyonun Özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

sayısı aynı zamanda dairesel grup olan Cnnin olası generatörlerine eşittir. Bu nedenleCnin her elemanı, bir dairesel altgrup oluşturur. Cnnin algrupları Cd formundadır, eğer d böler n (d | n şeklinde yazılır). Böylece

Buradaki toplam nnin tüm d pozitif bölenlerine kadar genişler.

Şimdi Möbius formülünü, bu toplamı değiştirmek ve için bir formül daha elde etmek için kullanabiliriz:

Burada, μ pozitif tamsayılarda tanımlanan Möbius fonksiyonudur.

Euler'in teoremine göre, eğer a ile n aralarında asallarsa, yani ebob(an) = 1,

Bu durum Lagrange'ın teoremini ve anın nin mod n'e göre tamsayı grubuna ait olmasını takip eder. (Ancak ve ancak a ile n aralarında asallarsa).

Formül Geliştirilmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada gösterilen iki fonksiyon da

nın sonucudur.

(n)yi içeren bir Dirichlet Serisi

öyle ki ζ(s) Rienmann Zeta Fonksiyonudur. Bunun ispatı aşağıda gösterildiği gibidir:

Lambert serisi fonksiyonu,

öyle ki |q|<1 için ıraksar.

Bu durumun nedeni

yani

Fonksiyonun Büyümesi[değiştir | kaynağı değiştir]

nin fonksiyon olarak büyümesi ilginç bir sorudur; çünkü küçüknler için in nden küçük olacağı düşüncesi tam olarak doğru değildir. Asimptotik olarak,

(herhangi bir ε > 0 ve n > N(ε) için)

Aslında

ele alınırsa,

yazılabilir. p|ni sağlayan p asal sayıları için)

Asal sayı teoremi'nden εnin yerine aşağıdakinin yazılabileceği gösterilebilir:

de ortalama olarak ne yakındır.

Yani

ndan rastgele seçilen iki pozitif sayının aralarında asal olma olasılığı n sonsuza yaklaşırken a yaklaşır. Bununla ilgili bir sonuç da,

ile gösterilir; çünkü , formül bu şekilde de ifade edilebilir.

Euler Totient Fonksiyonu'nu İçeren Diğer Formüller[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada m > 1 bir pozitif tam sayıdır ve ω(m) min asal sayı çarpanlarını ifade eder. (Bu formül nden küçük ve m ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısını gösterir.)

Eşitsizlikler[değiştir | kaynağı değiştir]

fonksiyonunu içeren bazı eşitsizlikler:

n > 2 için, &gamma Euler sabiti iken,
n için > 0,

ve

n asal sayısı için, açıkça .

n birleşik sayısı için

.

Rastgele büyüklükteki n için, bu sınırlar halen geliştirilememeiştir ya da daha kesin olmak gerekirse:

fonksiyonu ile fonksiyonunu birleştiren birkaç eşitsizlik:

Ford'un Teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ford, her k ≥ 2 tamsayısı için φ(x) = m eşitliğinin tam olarak k sağlayanı bulunması durumunu sağlayan bir m sayısının bulunduğunu ispatladı. Ne yazık ki, k = 1 için herhangi bir m bulunamamıştır, Carmichal'ın Totient Fonksiyonu Konjektürü'ne göre, bu durumda böyle bir min varolmadığına inanılır.

Referanslar[değiştir | kaynağı değiştir]