Tam kare

Matematikte, kare sayı ya da tam kare, bir tamsayının karesi olan bir tamsayıdır;^[1] başka bir deyişle, bir tamsayının kendisiyle çarpımıdır. Örneğin, 9 bir kare sayıdır, çünkü $32$ 'ye eşittir ve $3 \times 3$ olarak yazılabilir.

Bir sayının $n$ karesi için alışılmış gösterim, $n \times n$ çarpımı değil, buna eşdeğer olan üs alma $n 2$ olup genellikle " $n$ 'in karesi" diye okunur. Kare sayı adı şeklin adından gelir. Alanın birimi, bir birim karenin ( $1 \times 1$ ) alanı olarak tanımlanır. Bu nedenle, kenar uzunluğu $n$ olan bir karenin alanı $n 2$ olur. Bir kare sayı n nokta ile temsil edilirse, noktalar, her bir kenarında n'nin karekökü kadar nokta bulunan bir kare olacak şekilde satırlar halinde düzenlenebilir; dolayısıyla, kare sayılar bir tür şekilli sayılardır (diğer örnekler küp sayılar ve üçgensel sayılardır).

Reel sayı sisteminde, kare sayılar negatif olmayandır. Negatif olmayan bir tamsayı, karekökü yine bir tamsayı olduğunda kare sayıdır. Örneğin, ${\sqrt {9}}=3$ , dolayısıyla 9 bir kare sayıdır.

1 dışında kare böleni olmayan pozitif bir tamsayıya karekökten arınmış denir.

Negatif olmayan bir tamsayı $n$ için, $n$ 'inci kare sayı $n 2$ olup, $02 = 0$ sıfırıncı olandır. Kare kavramı bazı diğer sayı sistemlerine de genişletilebilir. Rasyonel sayılar dahil edilirse, kare, iki kare tamsayının oranıdır ve tersine, iki kare tamsayının oranı bir karedir; örneğin,

$\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$ .

1'den başlayarak, $m$ 'e kadar ve $m$ dahil olmak üzere $\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor$ tane kare sayı vardır; burada $\lfloor x\rfloor$ ifadesi, $x$ sayısının tabanını temsil eder.

Örnekler

60² = 3600'den küçük kare sayılar (OEIS'de A000290 dizisi) şunlardır:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

Herhangi bir tam kare ile bir önceki arasındaki fark, özdeşlik $n 2 - (n - 1) 2 = 2 n - 1$ ile verilir. Eşdeğer olarak, kare sayıları; son kareyi, son karenin kökünü ve mevcut kökü, yani $n 2 = (n - 1) 2 + (n - 1) + n$ toplayarak saymak mümkündür.

Özellikler

m sayısı ancak ve ancak m noktası bir kare şeklinde düzenlenebiliyorsa bir kare sayıdır:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16

$n$ kare sayının ifadesi $n 2$ 'dir. Bu, yukarıdaki resimlerde görülebileceği gibi, ilk $n$ tek sayının toplamına da eşittir; burada bir kare, bir öncekine tek sayıda nokta (macenta ile gösterilen) eklenerek elde edilir. Formül şöyledir: $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$ Örneğin, $52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ .

Kare sayıları hesaplamak için çeşitli özyinelemeli yöntemler vardır. Örneğin, $n$ kare sayı, bir önceki kareden $n 2 = (n - 1) 2 + (n - 1) + n = (n - 1) 2 + (2 n - 1)$ ile hesaplanabilir.

Alternatif olarak, $n$ kare sayı, önceki iki kareden aşağıdaki formül ile hesaplanabilir:

$n 2 = 2(n - 1) 2 - (n - 2) 2 + 2$ .

Örneğin:

2 \times 5 2 - 4 2 + 2 = 2 \times 25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 = 6 2

.

Bir $m$ sayısının karesinin bir eksiği her zaman $m-1$ ve $m+1$ çarpımıdır:

$m^{2}-1=(m-1)(m+1).$

Örneğin:

$72 = 49$ olduğundan $6\times 8=48$ elde edilir.

Yanı sıra, iki sayının karelerinin farkı, toplamları ile farklarının çarpımıdır:

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Bu, iki karenin farkı formülüdür ve zihinden hesaplamada yararlı olabilir: örneğin, $47 \times 53$ , $502 - 3 2 = 2500 - 9 = 2491$ olarak kolayca hesaplanabilir.

Ayrıca, bir kare sayı ardışık iki üçgensel sayının toplamıdır. Ardışık iki kare sayının toplamı bir merkezil kare sayıdır. Her tek kare aynı zamanda bir merkezil sekizgensel sayıdır.

Bir kare sayının bir başka özelliği, (0 hariç) pozitif bölen sayısının tek olmasıdır; diğer doğal sayıların pozitif bölen sayısı ise çifttir. Tamsayı bir kök, kare sayıyı vermek üzere kendisiyle eşleşen tek bölen olurken, diğer bölenler çiftler hâlinde gelir.

Lagrange'ın dört-kare teoremi, her pozitif tamsayının dört ya da daha az tam kare toplamı olarak yazılabileceğini söyler. Bir pozitif tamsayı, asal çarpanlara ayrıştırılması $4 k + 3$ biçimindeki asalların tek kuvvetlerini içermiyorsa ve ancak o zaman iki karenin toplamı olarak temsil edilebilir. Bu, Waring Problemi ile genelleştirilir.

10 tabanında, bir kare sayı yalnızca 0, 1, 4, 5, 6 veya 9 rakamlarıyla bitebilir; şöyle ki:

bir sayının son rakamı 0 ise, karesi 00 ile biter;
bir sayının son rakamı 1 veya 9 ise, karesi 1'in önünde bir çift rakamla biter;
bir sayının son rakamı 2 veya 8 ise, karesi 4'ün önünde bir çift rakamla biter;
bir sayının son rakamı 3 veya 7 ise, karesi 9'un önünde bir çift rakamla biter;
bir sayının son rakamı 4 veya 6 ise, karesi 6'nın önünde bir tek rakamla biter; ve
bir sayının son rakamı 5 ise, karesi 25 ile biter.

12 tabanında, bir kare sayı yalnızca kare rakamlarla bitebilir (12 tabanında bir asal sayının yalnızca asal rakamlarla veya 1 ile bitebilmesine benzer şekilde), yani 0, 1, 4 veya 9 ile; şöyle ki:

bir sayı hem 2'ye hem 3'e bölünebiliyorsa (yani 6'ya bölünebiliyorsa), karesi 0 ile biter ve bir önceki rakamı 0 veya 3 olmak zorundadır;
bir sayı ne 2'ye ne 3'e bölünebiliyorsa, karesi 1 ile biter ve bir önceki rakamı çift olmak zorundadır;
bir sayı 2'ye bölünüp 3'e bölünmüyorsa, karesi 4 ile biter ve bir önceki rakamı 0, 1, 4, 5, 8 veya 9 olmak zorundadır; ve
bir sayı 2'ye bölünmeyip 3'e bölünüyorsa, karesi 9 ile biter ve bir önceki rakamı 0 veya 6 olmak zorundadır.

Genel olarak, bir asal $p$ , bir kare sayı $m$ 'i bölüyorsa, $p$ 'nin karesi de $m$ 'yi bölmek zorundadır; $p$ , $m / p$ 'yi bölmüyorsa, $m$ kesinlikle kare değildir. Önceki cümledeki bölmeleri tekrarlayarak, her asalın verilen bir tam kareyi (muhtemelen 0 kez dâhil) çift sayıda böldüğü sonucuna varılır. Dolayısıyla, $m$ sayısı ancak ve ancak kanonik gösteriminde tüm üsler çift ise bir kare sayıdır.

Karelik testi, büyük sayıların çarpanlara ayrılmasında alternatif bir yol olarak kullanılabilir: verilen $m$ ve herhangi bir sayı $k$ için, $k 2 - m$ bir tamsayı $n$ 'nin karesi ise, $k - n$ , $m$ 'yi böler. (Bu, iki karenin farkının çarpanlara ayrılmasının bir uygulamasıdır.) Örneğin, $1002 - 9991$ , 3'ün karesidir; dolayısıyla $100 - 3$ , 9991'i böler. Bu test, $k - n$ ile $k + n$ aralığındaki tek bölenler için deterministiktir; burada $k$ , bazı doğal sayı aralığını kapsar $k\geq {\sqrt {m}}.$

Bir kare sayı bir mükemmel sayı olamaz.

İlk n kare sayının toplamı aşağıdaki gibi ifade edilir:

$\sum _{k=0}^{n}k^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.$

Bu toplamların ilk değerleri olan kare piramidal sayılar şunlardır: (OEIS'de A000330 dizisi)

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Tek sayıların toplamı teoremi için sözcüksüz ispat.

Bir ile başlayarak ilk tek tamsayıların toplamı bir tam karedir: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, vb. Bu, Galileo'nun tek sayılar yasasını açıklar: durgunluktan düşen bir cisim, ilk keyfî zaman aralığında bir birim mesafe kat ediyorsa, aynı uzunluktaki sonraki zaman aralıklarında 3, 5, 7, vb. birim mesafe kat eder. $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ 'den, $u = 0$ ve sabit $a$ için (hava direnci olmaksızın yerçekimi ivmesi); dolayısıyla $s$ , $t 2$ ile orantılıdır ve başlangıç noktasından uzaklıklar, geçen zamanın tamsayı değerleri için ardışık karelerdir.^[2]

İlk n küpün toplamı, ilk n pozitif tamsayının toplamının karesidir; bu Nikomakhos teoremidir.

Tüm dördüncü kuvvetler, altıncı kuvvetler, sekizinci kuvvetler vb. tam karedir.

Üçgensel sayılarla benzersiz bir ilişki $T_{n}$ için şöyledir: $(T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}$

Tek ve çift kare sayılar

Çift sayıların karesi (2n)² = 4n²' kuralı ile bulunabilir, çünkü çift sayıların kareleri çifttir ve 4'e bölünür.

Tek sayıların karesi ise (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1' kuralı ile bulunabilir.

Çift sayıların kareleri çift, tek sayıların kareleri tek olacak şekilde devam eder.

Her tek tam kare bir merkezli sekizgensel sayıdır. Herhangi iki tek tam kare arasındaki fark 8'in katıdır. 1 ile daha büyük herhangi bir tek tam kare arasındaki fark her zaman bir üçgensel sayının sekiz katıdır; 9 ile daha büyük herhangi bir tek tam kare arasındaki fark ise bir üçgensel sayının sekiz katından sekiz eksiktir. Tüm üçgensel sayılar tek bir çarpana sahipken, $2 n$ 'in hiçbir iki değeri tek bir çarpan içeren bir miktar kadar farklı olmadığından, $2 n - 1$ biçimindeki tek tam kare 1'dir ve $2 n + 1$ biçimindeki tek tam kare 9'dur.

Özel durumlar

Eğer sayı m5 şeklindeyse bu sayının karesinde n25 olur. Burada n = m × (m + 1) kuralı vardır. Örneğin; 65'in karesi n = 6 × (6 + 1) = 42 ve 5'in karesi 25 olduğundan 4225 olur.
Eğer sayı m0 şeklindeyse bu sayının karesi n00 olur. Burada n = m² kuralı vardır. Örneğin; 70'in karesi 4900'dür.
Eğer sayı iki rakamlıysa ve 5m şeklindeyse (m sayının birler basamağı olmak koşuluyla, karesi AABBdir. Burada AA = 25 + m ve BB = m² kuralı vardır. Örneğin: 57'nin karesini hesaplamak için önce 25 + 7 = 32 ve 7² = 49 hesaplanır, buradan da 57² = 3249 bulunur.
Sayı 5 ile bitiyorsa, karesi de 5 ile biter; benzer biçimde 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 vb. ile bitiyorsa da böyledir. Sayı 6 ile bitiyorsa, karesi de 6 ile biter; benzer biçimde 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376 ile bitiyorsa da böyledir. Örneğin, 55376'nın karesi 3066501376'dır; her ikisi de 376 ile biter. (5, 6, 25, 76 vb. sayılara otomorfik sayı denir. Bunlar OEIS'te A003226 dizisidir.^[3])
10 tabanında, kare sayıların son iki basamağı, 25'in katları etrafında aynalı simetri gösteren tekrarlayan bir örüntü izler. 25'ten 1 eksik ve 1 fazla olan 24 ve 26 örneğinde, $242 = 576$ ve $262 = 676$ , her ikisi de 76 ile biter. Genel olarak, ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$ . Benzer bir örüntü 250'nin katları etrafında son 3 basamak için de geçerlidir ve bu böyle devam eder. Sonuç olarak, olası 100 son 2 basamaktan yalnızca 22 tanesi kare sayılar arasında görülür (00 ve 25 tekrarlandığından).

Notlar

^ Bazı yazarlar, rasyonel sayıların karelerini de 'tam kare' olarak adlandırmaktadır.
^ Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (14 Ocak 2008). The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat (İngilizce). Cambridge University Press. s. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
^ Şablon:Cite OEIS

İlave kaynaklar

Conway, J. H. ve Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, ss. 30–32, 1996. 0-387-97993-X
Kiran Parulekar. Amazing Properties of Squares and Their Calculations. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC

[1] Bazı yazarlar, rasyonel sayıların karelerini de 'tam kare' olarak adlandırmaktadır.

[2] Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (14 Ocak 2008). The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat (İngilizce). Cambridge University Press. s. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.

[3] Şablon:Cite OEIS

[1]

[2]

[3]