Lie grubu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Şablon:Lie grupları Şablon:Grup kuramı kenar çubuğu

Matematikte, bir Lie grup /ˈl/ bir grup ve bu ayrıca bir diferansiyellenebilir manifolddur, bu özellikleri ile grup işlemler düzgün yapı ile uygundur. Lie gruplar adı Sophus Lie anısınadır,sürekli dönüşüm grupları teorisinin temelleridir.

Lie grupları matematiksel nesnelerin ve yapılarıın sürekli simetrilerinin en gelişmiş teorisini temsil eder, bunlar çağdaş matematiğin birçok yerinde ve hem de modern teorik fizik için onları vazgeçilmez kılan araçlardır. Bu doğal çerçeve diferansiyel denklemlerin sürekli simetrileri için analiz sağlar (diferansiyel Galois teorisi), aynı şekilde permutasyon grupları olarak cebrik denklemlerin ayrık simetrileri analizinde Galois teorisi için kullanılıyor. Sürekli simetri grupları durumunda Galois teorisinin bir uzantısı Lie'nin temel motivasyonlarından biriydi.

Genelbakış[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanımlar ve örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir gerçek Lie grubu bir grup ve ayrıca bir sonlu-boyutlu gerçek düzgün manifolddur, çarpım grubu işlemleri içinde ve tersi düzgün göndermelerdir. Grup çarpımının düzgünlüğü

 \mu:G\times G\to G\quad \mu(x,y)=xy

anlamına gelir μ çarpım manifoldu G×G içindeki Gnin bir düzgün gönderimidir.Bu gönderimle iki gereklilik tek gerekliliye kombine edilebilir.

(x,y)\mapsto x^{-1}y

G içine çarpım manifoldunun bir düzgün gönderimi olsun.

İlk örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

 \operatorname{GL}(2, \mathbf{R}) = \left\{A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}: \det A=ad-bc \ne 0\right\}.
Bu bir dört-boyut tıkız-olmayan gerçek Lie grubudur. Bu grup bağlantısızdır; bu determinantın pozitif ve negatif değerlere karşıgelen iki bağlantılı bileşeni var.
  • rotasyon matrisler formu GL(2, R)nin bir altgrubu, SO(2, R) ile ifade edilir. Bu kendi geregi içinde bir Lie grubudur: özellikle, bir tek-boyutlu sıkı bağlantılı Lie grubu çembere difeomorfiktir. Döndürme açısı \varphi bir parametre kullanılarak bu grup asağıda

ölçeklendirilebilir olarak:

 \operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) =\left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}:  \varphi\in\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}.
SO(2, R)'nin ögelerinin çarpımına karşı açıların toplamı, ve tersine karşılık ters açı alıyor.hem de böylece hem çarpım ve hemde ters açi diferensiyellenebilir gönderimlerdir.

Lie gruplarının ilk örneklerinin tümü klasik grupların sınıfı içine düşüyor.

İlişkili kavramlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir karmaşık Lie grup tanımlanıyor aynı yol içinde karmaşık manifoldların kullanılıyor oldukça gerçek olanlardan daha (örnek: SL(2, C)), ve benzer[kaynak belirtilmeli] bir p-adik sayılar üzerine bir p-adik Lie grup tanımlanabilir. Hilbert'in beşinci problemi ile türevlenebilir manifold olup olmadığını sordugu topolojik veya analitik yeni örnekler elde edilebilir. Bu sorunun cevabının olumsuz olduğu ortaya çıktı: 1952'de, Gleason, Montgomery ve Zippin gösterdi ki eğer G bir topolojik manifold ile sürekli grup işlemleri ise burada G üzerinde tam olarak bir analitik yapı var bu bir Lie grubu (ayrıca bakınız Hilbert–Smith sanısı)içinde dönüştürülüyor. Eğer manifoldun altındaki sonsuz boyutlu olmasını sağlıyor ise (örneğin, bir Hilbert manifoldu), bir sonsuz-boyutlu Lie grubunun gösterimide olur. Bu birçok sonlu alanlar üzerinde Lie gruplarının benzer tanımlamalarina olasılıktır,ve bu sonlu basit gruplarınöen iyirneklerini veriyor.

Lie grupları için kategori teorisi dili özlü bir tanım sağlar : bir Lie grubu düzgün manifoldların kategorisi içinde bir grup nesnesidir ve bu önemlidir, çünkü o Lie supergruplarına bir Lie grubun gösteriminin genellemesini sağlar.

merkez 0 ve yarıçapı 1 karmaşık düzlemin çemberi içinde bir Lie grubu ile karmaşık çarpımdır.

Lie gruplarının birçok örneği[değiştir | kaynağı değiştir]

Lie grupları occur boyunca zenginliği içinde matematik ve fizik. Matris grupları veya cebrik grupları (kabaca)matrislerin gruplarıdır(örnek için, ortogonal ve simplektik gruplar), ve bu en iyi Lie gruplarının daha yaygın örneklerini verir.

Boyutların özel bir sayıda örnekleri[değiştir | kaynağı değiştir]

  • dairesel grup S1 mod 2π açısının toplamı altında oluşan veya, karşıt olarak,karmaşık sayılar ile mutlak değer 1 çarpım altında. Bu bir tek-boyutlu sıkı bağlı abeliyen Lie gruptur .
  • 3-küre S3 formları bir Lie grup birim normun kuaternionların kümesi ile özdeşleştirilebilir, versorler denir. Yalnızca diğer küreler bir Lie grupun yapısı kabuleden 0-küre S0 dir (gerçek sayılar ile mutlak değer 1) ve çember S1 (karmaşık sayıları ile mutlak değer 1). Örneğin, çift n > 1, Sn için bir Lie grup değil çünkü o bir yokolmayan vektör alanı ve böylece a fortiori bir diferansiyellenebilir manifold olarak paralelleştirilebilir olamaz. Kürenin yalnızca S0, S1, S3, ve S7 paralelleştirilebilir. İkincisi bir Lie kuazigrupun yapısı taşır (bir ilişkisel olmayan grup), bu birim oktonionların kümesi ile özdeşleştirilebilir.
  • (3-boyut) metaplektik grup SL(2, R)'nin çift örtük modular formlar teorisi içinde bir önemli rol oynuyor.

Bu bir Lie grup sonlu boyutun matrisleri ile özenle gösterilemez bağlantıdır, yani bir nonlineer gruptur.

Örnekleri ile n boyutlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Yapımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada eski olanlardan yeni formuna Lie gruplarının birkaç standard yolları:

  • İki Lie grubunun çarpımı yine bir Lie grubudur.
  • Herhangi bir Lie grubunun topolojik kapalı altgrubu bir Lie grubudur. Bu Cartan'ın teoremi olarak bilinir.
  • Kapalı bir, normal alt grup tarafından bir Lie grubunun bir bölümü bir Lie grubudur..
  • Bir bağlantılı Lie grubunun evrensel örtüğü bir Lie gruptur. Örneğin, grup R S1 çember grubunun evrensel örtüğüdür. Aslında bir türevlenebilir manifoldun herhangi örtü de türevlenebilir manifoldu olduğunu, ama evrensel örtü özelliği ile,bir grup yapısı bir garantidir(onun diğer yapılar ile uyumludur).

İlişkili gösterimler[değiştir | kaynağı değiştir]

grupların bazı örnekleri bu Lie grupları değildir(önemsiz duyarlılıkta içinde var bu herhangi grup bir 0-boyutlu Lie grup olarak gösterimlenebilir, ayrık topoloji ile :

  • Böyle bir sonsuz boyutlu reel vektör uzay katkı grup olarak sonsuz boyutlu gruplar. sonlu boyutlu manifoldlar olmadığı gibi bu gruplar Lie değildir
  • Bazı tamamen bağlantısız gruplar, böylece alanların bir sonsuz uzantısının Galois grubudur, veya p-adik sayıların toplam grubudur. çünkü burada bu Lie gruplarının altında yatan uzay gerçek manifoldlar değildir. (bu grupların bazıları "p-adik Lie grupları"dır). Genel olarak, yalnızca topolojik grupların bazı n pozitif tamsayılar için Rn ye benzer yerel özellikleri varolan Lie grupları olabilir (Tabii onlar da bir türevlenebilir bir yapıya sahip olmalıdır)

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]