Kullanıcı:Sokratesla/Donme

N-boyut'ta dönme (Rotation) Matrisi

2D döndürme

Elimizde herhangi bir ${\vec {r}}=(x,y)$ vektörü olsun. Bunu $x$-ekseni $0^{o}$'ye denk gelecek şekilde $\theta$ kadar döndürelim. Yeni vektörümüz ${\vec {r'}}$ ne olur? Bunu şu şekilde ifade edelim ${\mathcal {R}}_{\theta }{\vec {r}}={\vec {r'}}$

buraya şekil şemal

bu şekil çok kafa karıştırıcı. Ama eğer döndürme'nin doğrusal bir operasyon olduğunu kabul edersek işimiz kolaylaşır. ${\mathcal {R}}_{\theta }$'nın yalnızca baz vektörlerini ne hale getirdiğine bakmamız yeterli olur:

${\mathcal {R}}_{\theta }{\hat {\imath }}={\mathcal {R}}_{\theta }\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\cos \theta \\\sin \theta \end{array}}\right)$

Keza ${\mathcal {R}}_{\theta }{\hat {\jmath }}={\mathcal {R}}_{\theta }\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-\sin \theta \\\cos \theta \end{array}}\right)$

Buradan da genel bir vektörün, $\vec{r}$, başına neler geleceğini çıkarabiliriz.

${\mathcal {R}}_{\theta }{\vec {r}}={\mathcal {R}}_{\theta }\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)={\mathcal {R}}_{\theta }\left({\begin{array}{c}x\\0\end{array}}\right)+{\mathcal {R}}_{\theta }\left({\begin{array}{c}0\\y\end{array}}\right)=x{\mathcal {R}}_{\theta }\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)+y{\mathcal {R}}_{\theta }\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)$

$=x\left({\begin{array}{c}\cos \theta \\\sin \theta \end{array}}\right)+y\left({\begin{array}{c}-\sin \theta \\\cos \theta \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}x\cos \theta &-y\sin \theta \\x\sin \theta &y\cos \theta \end{array}}\right)$

yani

${\mathcal {R}}_{\theta }\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}x\cos \theta &-y\sin \theta \\x\sin \theta &y\cos \theta \end{array}}\right)$

doğrusal tranformasyonuna neden olacak matrix şudur:

${\mathcal {R}}_{\theta }=\left({\begin{array}{cc}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{array}}\right)$

3D döndürme

Olayı 3. boyuta genellerken, dönmenin bir eksen etrafında değil, bir düzlem üzerinde yapıldığı fikrine alışmak faydalı. Burada 2 boyutta yaptığımız döndürme işlemini uygulayabileceğimiz 3 düzlem var: $xy$, $xz$, $yz$.(Ben hesapladım N boyutlu uzay $\sum _{n=1}^{N-1}n={\frac {N(N-1)}{2}}$ düzlem içeriyor.)

${\mathcal {R}}_{\theta _{xy}}{\hat {\imath }}={\mathcal {R}}_{\theta _{xy}}\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\cos \theta \\\sin \theta \\0\end{array}}\right)$

${\mathcal {R}}_{\theta _{xy}}{\hat {\jmath }}={\mathcal {R}}_{\theta _{xy}}\left({\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{array}}\right)$

${\mathcal {R}}_{\theta _{xy}}{\hat {k}}={\mathcal {R}}_{\theta _{xy}}\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right)$

çünkü $xy$-düzleminde dönmenin z koordinatına bir etkisi olamaz. O zaman 3x3 matrisimizin z koordinatına etki eden kısmı birim fonksiyon olacak, diğer kısımlarıysa aynen 2 boyutta xy düzleminde döndürmeyle aynı olacak.

${\mathcal {R}}_{\theta _{xy}}=\left({\begin{array}{ccc}\cos {\theta _{xy}}&\sin {\theta _{xy}}&0\\-\sin {\theta _{xy}}&\cos {\theta _{xy}}&0\\0&0&1\end{array}}\right)$

Keza

${\mathcal {R}}_{\theta _{xz}}=\left({\begin{array}{ccc}\cos {\theta _{xz}}&0&\sin {\theta _{xz}}\\0&1&0\\-\sin {\theta _{xz}}&0&\cos {\theta _{xz}}\end{array}}\right)$

${\mathcal {R}}_{\theta _{yz}}=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos {\theta _{yz}}&\sin {\theta _{yz}}\\0&-\sin {\theta _{yz}}&\cos {\theta _{yz}}\end{array}}\right)$

${\mathcal {R}}_{\theta _{yx}}\$,\${\mathcal {R}}_{\theta _{zx}}\$,\${\mathcal {R}}_{\theta _{zy}}$ matrislerini de tanımlayabilir, operatör sayısını $3!$'le çekebilirdik. Ama onlar bu üçünün zıt yönde dönenleri olacağı için yazmadım.

ND döndürme

Sonuçta bu tanımladığımız haliyle döndürme işlemi iki eksence belirlenen düzlemler üzerinden yapılan ve o düzlemi ifade eden koordinatlarda değişiklik yapan, diğer koodinatları aynı bırakan bir işlem. Yani NxN'lik matrisimiz dört adet trigonometrik fonksiyon içeren eleman dışında birim matrisle aynı olacak.

Örneğin ${\mathcal {R}}_{\theta _{xz}}$ matrisine bakarsak, $x$ koordinatını değiştirip $x'$ yapacak olan satır 1. satır:

$x'=\left({\begin{array}{ccc}\cos {\theta _{xz}}&0&\sin {\theta _{xz}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)$

Bunu...