Grandi serisi toplamı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Ana madde: Grandi serisi

Kararlılık ve doğrusallık[değiştir | kaynağı değiştir]

1 − 1 + 1 − 1 + … serisine 12 değerinin atanabilmesini olanaklı kılan oynamalar

  • İki seriyi terim bazında toplamak ya da çıkarmak
  • Serinin her terimini bir sayıyla çarpmak
  • Terimlerin yerlerini toplamı etkilemeyecek biçimde "değiştirmek"
  • Serinin başına yeni bir terim ekleyerek toplamı artırmak

olarak sıralanabilmektedir.

Bu oynamalar tüm yakınsak seriler için doğru sonuçlar üretmektedir ancak 1 − 1 + 1 − 1 + … serisi yakınsak değildir.

Öte yandan, temel mantığı bu tür oynamalara dayanan ve Grandi serisine bir değer atayabilen birçok toplam yöntemi vardır. Bunlardan en basitleri kuşkusuz Cesàro toplamı ve Abel toplamıdır.[1]

Cesàro toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Iraksak serilerin toplamına ilişkin ilk kalıcı yöntem 1890 yılında Ernesto Cesàro tarafından ortaya atılmıştır. Leibniz'in olasılıkçı yaklaşımına benzeyen bu yöntem bir serinin toplamını o serinin kısmi toplamlarının ortalaması olarak hesaplamaktadır. Yapılan işlem, her n değeri için σn ortalamasını hesaplamak ve n sonsuza giderken bu Cesàro ortalamalarının limitini almaktır.

Grandi serisinin aritmetik ortalamalar serisi

1, 12, 23, 24, 35, 36, 47, 48, …

biçiminde ifade edilebilir.

Burada, çift n değerleri için \sigma_n=\frac12 ve tek n değerleri için \sigma_n=\frac12+\frac{1}{2n} eşitlikleri geçerlidir.

Bu seri 12'ye yakınsadığından Σak Cesàro toplamı da bu değere eşit olur. Başka bir deyişle, 0, 1, 0, 1, … serisinin Cesàro limiti 12'ye eşittir.[2]

1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + … serisinin Cesàro toplamı 23'tür. Bu, bir serinin Cesàro toplamının seriye sonsuz çoklukta 0 ve ayraç ekleyerek değiştirilebileceğini göstermektedir.[3]

Abel toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Ölçeklerin ayrılması[değiştir | kaynağı değiştir]

φ(0) = 1 olmak üzere bir φ(x) işlevi tanımlı, φ'nın +∞'daki limiti 0 ve bu işlevin türevinin integrali (0, +∞) aralığında tanımlıysa Grandi serisinin φ-toplamı tanımlıdır ve 12'ye eşittir.

S_\varphi = \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty(-1)^m\varphi(\delta m) = \frac12

φ üçgensel ya da üstel bir işlev yerine konularak Cesaro ve Abel toplamlarına dönülebilmektedir. φ'nın integralinin sürekli tanımlı olduğu varsayılıyor ise bu önerme, ortalama değer teoremi kullanılarak ve toplam bir integrale çevrilerek kanıtlanabilir.

\begin{array}{rcl}
S_\varphi & = &\displaystyle \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty\left[\varphi(2k\delta) - \varphi(2k\delta-\delta)\right] \\[1em]
  & = & \displaystyle \lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty\varphi'(2k\delta+c_k)(-\delta) \\[1em]
  & = & \displaystyle-\frac12\int_0^\infty\varphi'(x) \,dx = -\frac12\varphi(x)|_0^\infty = \frac12
\end{array}[4]

Euler dönüşümü ve analitik süreklilik[değiştir | kaynağı değiştir]

Borel toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Grandi serisinin Borel toplamı 12'ye eşittir. Bunun nedeni,

1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=e^{-x}

ve

\int_0^\infty e^{-x}e^{-x}\,dx=\int_0^\infty e^{-2x}\,dx=\frac12

eşitliklerinin sağlanıyor oluşudur.[5]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Davis s. 152, 153, 157
  2. ^ Davis s. 153, 163
  3. ^ Davis s. 162-163
  4. ^ Saichev s. 260-262
  5. ^ Weidlich s. 20

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]