Gauss fonksiyonunun integrali

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Keyfi bir Gauss fonksiyonunun integrali şöyledir:

\int_{-\infty}^{\infty} a\,e^{-(x+b)^2/c^2}\,dx=a |c| \sqrt{\pi}.

Bunun başka bir biçimi de şöyledir:

\int_{-\infty}^{\infty}k\,e^{-f x^2 + g x + h}\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}k\,e^{-f (x-g/(2f))^2 +g^2/(4f) + h}\,dx=k\,\sqrt{\frac{\pi}{f}}\,\exp\left(\frac{g^2}{4f} + h\right),

İntegralin yakınsaklaştırılması için burada f kesinlikle pozitif olmalıdır.

İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

Gauss integrali;

\int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x+b)^2/c^2}\,dx

a, b, c > 0 olan bazı reel sabitler, Gauss integralinde yerlerinde konularak hesaplanabilir. Öncelikle a sabiti, integral dışına çıkartılır. Ardından, x to y = x + b biçiminde değişken değiştirme yapılırsa integral şöyle olur:

a\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/c^2}\,dy,

Burada z=y/|c| biçiminde değişken değiştirme yapılırsa integral şöyle olur:

a |c| \int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\,dz.

Burada aşağıdaki Gaussian integral yoğunluğu kullanılır:

\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\,dz = \sqrt{\pi},

Sonuçta aşağıdaki integral elde edilir:

\int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x+b)^2/c^2}\,dx=a |c| \sqrt{\pi}.