Cesàro toplaması

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Matematiksel çözümlemede Cesàro toplamı bir sonsuz diziye toplam değeri atamanın farklı bir yoludur. Bir dizi A toplamına yakınsıyorsa bu dizinin Cesàro toplamı da A olur. Cesàro toplamı, yakınsamayan dizilere de değer atayabilmektedir. Ne var ki, artı sonsuz değerine yönelen bir dizi hiçbir koşulda sonlu bir toplam değerine sahip olamayacaktır.

Cesàro toplamı İtalyan çözümlemeci Ernesto Cesàro'nun (1859–1906) adını taşımaktadır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

{an} bir dizi olmak kaydıyla

ifadesinin

dizisinin k. kısmi toplamı olduğu varsayılsın.

eşitliği sağlanıyorsa {an} dizisinin Cesàro toplamı A olur.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

n ≥ 1 için an = (-1)n+1 koşulunun sağlandığı varsayılsın. Bu durumda {an}

dizisi biçiminde ifade edilebilir.

Böylece, kısmi toplamlar dizisi {sn}

olur. Grandi dizisi olarak bilinen bu ifade yakınsamamaktadır. Öte yandan, {(s1 + ... + sn)/n} dizisinin terimleri

biçiminde yazılabilir ve

eşitliği sağlanır. Bu, {an} dizisinin Cesàro toplamının 1/2 olduğunu göstermektedir.

(C, α) toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Ernesto Cesàro 1890 yılında geniş bir toplam yöntemleri ailesi tanımlamıştır. n sıfırdan büyük bir tamsayı olmak koşuluyla (C, n) biçiminde ifade edilen bu yöntemlerden (C, 0) olağan toplamayı, (C, 1) ise yukarıda tanımlanan Cesàro toplamını belirtmektedir.

Daha yüksek dereceli yöntemler şu biçimde tanımlanabilir: Bir Σan dizisi için

büyüklükleri tanımlanır ve 1 + 0 + 0 + 0 + … dizisi için Enα, Anα değerine eşitlenir. Böylece, Σan'nin (C, α) toplamı

olarak hesaplanır.[1] Bu tanım, ilk toplam yönteminin kez yinelenmesiyle elde edilmektedir. Bu ifade aşağıdaki biçimde de yazılabilir.

Daha genel anlamda, olmak koşuluyla Anα

dizisinin katsayılarından elde edilebiliyor ve Enα yukarıdaki gibi tanımlanıyorsa (gerçekte Enα, -1 - α üslü binom katsayılarını ifade etmektedir) Σ an'nin (C, α) toplamı yukarıdaki sonucu verir.

(C, α)'nın tanımlı oluşu daha üst düzey toplamların da var olduğunu göstermektedir. Ayrıca, α > -1 ise an = o(nα) eşitliği de sağlanır.

Bir integralin Cesàro toplanabilirliği[değiştir | kaynağı değiştir]

α ≥ 0 olmak koşuluyla

tanımlı ise integralinin (C, α) toplamı tanımlı ve sonludur.[2] Bu limit (tanımlıysa) integralin (C, α) toplamına eşittir. Dizi toplamına benzer biçimde, α=0 iken sonuç, belirsiz integralin yakınsaklığıdır. α=1 iken (C, 1) yakınsaklığı

limitine eşittir. Bu aynı zamanda kısmi integraller ortalamasının limitidir.

Bir integral herhangi bir α ≥ 0 değeri için (C,α) toplamına sahipse bu integralin (C,β) toplamı tüm β > α değerleri için tanımlıdır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Shawyer, Bruce; Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. s. 16-17. ISBN 0-19-853585-6. 
  2. ^ Titchmarsh, E (1948). "§1.15". Introduction to the theory of Fourier integrals (2 bas.). New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co.. ISBN 978-0828403245. 

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]