Cauchy yoğunlaşma testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte Cauchy yoğunlaşma testi sonsuz seriler için kullanılan standard bir yakınsaklık testidir. Pozitif, monoton azalan bir f(n) dizisi için

\sum_{n=1}^{\infty}f(n)

toplamı ancak ve ancak

\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})

toplamı yakınsarsa, yakınsar. Dahası, bu durumda,

\sum_{n=1}^{\infty}f(n) < \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) < 2 \sum_{n=1}^{\infty}f(n)

olur. Geometrik görüş toplama yamuklarla her 2^{n} 'de yaklaşıldığıdır. Başka bir açıklama ise şudur: Sonlu toplamlarla integral arasındaki ilişkin bir analoğu gibi bir analoji terimlerin 'yoğunluğu' ile üstel fonksiyonun yerine konulmasıyla vardır. Bu da aşağıdaki şöyle örneklerle daha çok açık olabilir.

f(n) = n^{-a} (\log n)^{-b} (\log \log n)^{-c}.

Burada seri kesinlikle a > 1 için yakınsar ve a < 1 için ıraksar. a = 1 olduğunda, yoğunluk dönüşümü ise

\sum n^{-b} (\log n)^{-c}

serisini verir. Logaritmalar 'sola kayar'. Yani, a = 1 iken, b > 1 için yakınsaklık ve b < 1 için ıraksaklık vardır. b = 1 iken ise, c 'nin değeri devreye girer.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]