Birleşme özelliği (ikili işlemler)

Matematikte birleşmeli özellik ^[1] bazı ikili işlemlerin ayırt edici özelliğidir. Önerme mantığına göre birleşme mantıksal kanıtları ifade için geçerli bir kuralları yer değiştirme yoludur. Matematiksel işlemlerde parantezi yeniden ayarlamak sonuca etki etmez. Örnek olarak:

(2+3)+4=2+(3+4)=9\,

2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4=24\,

Parantezlerin yeniden değiştirilmesine rağmen sonuç değişmedi. Bu olay gerçek sayıların toplamında ve çarpımında her zaman doğru olduğuna göre söyleyebiliriz ki toplama ve çarpma işlemi birleşmeli özelliğe sahiptir. Birleşme özelliği değişme özelliğiyle karıştırılmamalıdır. Değişme özelliği a × b = b × a örnektir. Birleşme özelliği matematikte bolca vardır hatta, birçok cebirsel yapı özellikle ikili işlemleri için birleşmeye ihtiyaç duyar. Ancak birçok önemli ve ilginç olaylar da birleşme özelliğine sahip değildir. Örnek olarak çıkartma işlemi, üslü sayılar ve çapraz çarpım gösterilebilir. Bilgisayar bilimindeki kayan nokta birleşmeli değildir ve hataları yuvarlamada kullanılan önemli bir kaynaktır.

Tanım

Resmi olarak kümelerdeki S ikili işlemler $*$ birleşme özelliğine sahiptirler tabi bu özelliğin kurallarına uyuyorlarsa.

(x*y)*z=x*(y*z)\qquad {\mbox{bütün }}x,y,z\in S.

.

$*$ burda herhangi bir işlemi belirtmektedir. Örnek olarak çarpma işlemini verirsek;

(xy)z=x(yz)=xyz\qquad {\mbox{bütün }}x,y,z\in S.

Bu kurallar fonksiyonel notasyonlarda da ifade edilebilir. Bundan dolayı: $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ .

==Genelleştirilmiş Birleşme Kuralları==

Parantezin yeri ne kadar değiştirilirse değiştirilsin sonuç hiçbir zaman değişmez.^[2] Buna genelleştirilmiş birleşme kuralı denir. Örnek olarak dört simgenin beş farklı yazılabilme yolu:

((ab)c)d
(ab)(cd)
(a(bc))d
a((bc)d)
a(b(cd))

Genelleştirilmiş birleşmeli kurala göre sonuç her zaman aynı çıkacaktır bundan dolayı parantezlere ihtiyaç yoktur bu durumda işlem şu şekilde de yazılabilir:

abcd

Simgeler arttıkça parantezli işlemlerin sayısı da artacaktır ama fakat bu gereksiz olur.

Örnekler

\left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{ bütün }}x,y,z\in \mathbb {R} .

Birleşme özelliğinden dolayı parantezler ihmal edilebilir.

Karmaşık sayılardan olan dördeyler de birleşme özelliğine girmektedir.
Ortak bölenlerin en büyüğü ve ortak katların en küçüğü fonksiyonları birleşme özlelliğine sahiptirler

\left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ bütün }}x,y,z\in \mathbb {Z} .

Kümelerde kesişim ve birleşim bu kurala uyar

\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{bütün }}A,B,C.

Bileşke fonksiyonlar da birleşme özelliğine girmektedir.

(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{bütün }}f,g,h\in S.

Üç elemanlı bir kğme düşündüğümüzde, izlenilen yol

×	A	B	C
A	A	A	A
B	A	B	C
C	A	A	A

Birleşme özelliğine sahiptir

Matrisler doğrusal dönüşüm ile matris çarpımı özelliği gösterdikleri için birleşme özelliğine sahiptirler.

Önermeler

Yer Değiştirme Kuralı

Önermelerde birleşmeli özellik^[3]^[4] ya da birleşme özelliği^[5] yer değiştirme kuralının iki geçerli özelliğidir. Bu kurallar:

(P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)

Ve

(P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),

" $\Leftrightarrow$ " bir semboldür ve manası ispatlanmış olanla yer değiştirilebilirdir.

Birleşmesiz

Kümelerdeki ikili işlemlerde birleşme özelliğini sağlamıyorsa buna birleşmesiz denir.

(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{birkaç }}x,y,z\in S.

Bazı işlemler birleşmesizdir.

Çıkarma

(5-3)-2\,\neq \,5-(3-2)

Bölme

(4/2)/2\,\neq \,4/(2/2)

Üslü sayı

2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}

Sonsuz toplamlar birleşmesizdir.

(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots \,=\,0

Birleşmesiz yapılar konusu klasik cebirin yapısındaki farklılıklardan meydana gelmiştir. Birleşmesiz cebir Lie cebir konusunda daha büyük bir alana sahiptir artık. Birleşmeli kuralı Jacobi özdeşliği ile yer değiştirmiştir. Lie alcebrası sonsuz küçük dönüşümlerin temelini değiştirip matematikte her yerde bulunan bir özellik haline getirmiştir.

Kayan Nokta Hesaplamasının Birleşmesiz Olanı

Matematikte toplama ve çarpma birleşmelidir. Bunun aksine hatalar yuvarlandığında ve farklı boyuttaki değerler birleştiğinde bilgisayar biliminde kayan noktanın toplanması ve çarpılması birleşmesizdir.^[6] Örnek verilecek olunursa; 4 bit mantissa ile kayan nokta gösterimi:
(1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁰) + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2¹ + 1.000₂×2⁴ = 1.001₂×2⁴
1.000₂×2⁰ + (1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁴) = 1.000₂×2¹ + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2⁴ Birçok bilgisayar 53 ve 24 bitlik mantissa ile çalışmasına rağmen ^[7], yuvarlama hatasında önemli bir kaynaktır ve Kahan toplama algoritması ile bu hatalar en küçük hale getirilir. Özellikle paralel hesaplamalarda önemli bir problemdir.^[8] ^[9]

Birleşmesiz İşlemlerdeki Notasyon

Genelde parantezler birleşmesiz durumlardaki işlem sırasını göstermek için kullanılır. Ancak matematikçiler bir işlem sırası belirlemişlerdir bazı birleşmesiz işlemler için. Kısaca parantezlerden kurtulmak için yapmışlardır. Sol birleşmeli soldan sağa giderken:

\left.{\begin{matrix}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{bütün }}w,x,y,z\in S

Sağ birleşmeli sağdan sola gider:

\left.{\begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{vb}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{bütün }}w,x,y,z\in S

Ancak bunların ikisi de meydana geldiğinde Sol birleşmeli işlemlerde:

Gerçek sayıların çıkarması ve bölünmesi:

x-y-z=(x-y)-z\qquad {\mbox{bütün }}x,y,z\in \mathbb {R} ;

x/y/z=(x/y)/z\qquad \qquad \quad {\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ with }}y\neq 0,z\neq 0.

Fonksiyonlarda:

(f\,x\,y)=((f\,x)\,y)

Sağ birleşmeli işlemlerde:

Üslü sayılarda:

x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}.\,

Sol birleşmeli işlemin burada kullanılmamasındaki sebep daha az kullanışlı olmasıdır

Fonksiyon Tanımında:

\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )

x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)

Birleşmesiz işlemlerde bazı işlemlerin sırası aşağıdaki gibidir.

Üç vektörün çapraz çarpımı alınırken:

{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ bazı }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}

Gerçel sayıların ortalama değeri alınırken:

{(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{bütün }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ ile }}x\neq z.

Ayrıca Bakınız

Referanslar

^ Thomas W. Hungerford (1974). Algebra (1st bas.). Springer. s. 24. ISBN 0387905189. Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G.
^ Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: an Introduction (3rd bas.). New York: Wiley. s. 78. ISBN 0-471-51001-7. If $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)$ are elements of a set with an associative operation, then the product $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product
^ Moore and Parker
^ Copi and Cohen
^ Hurley
^ Knuth, Donald, The Art of Computer Programming, Volume 3, section 4.2.2
^ IEEE Computer Society (August 29, 2008). "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic". IEEE. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.
^ Villa, Oreste; Chavarría-mir, Daniel; Gurumoorthi, Vidhya; Márquez, Andrés; Krishnamoorthy, Sriram, Effects of Floating-Point non-Associativity on Numerical Computations on Massively Multithreaded Systems (PDF), erişim tarihi: 2014-04-08
^ Goldberg, David, "What Every Computer Scientist Should Know About Floating Point Arithmetic" (PDF), ACM Computing Surveys, 23 (1), ss. 5-48, erişim tarihi: 2014-04-08

[1] Thomas W. Hungerford (1974). Algebra (1st bas.). Springer. s. 24. ISBN 0387905189. Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G.

[2] Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: an Introduction (3rd bas.). New York: Wiley. s. 78. ISBN 0-471-51001-7. If $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)$ are elements of a set with an associative operation, then the product $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product

[3] Moore and Parker

[4] Copi and Cohen

[5] Hurley

[6] Knuth, Donald, The Art of Computer Programming, Volume 3, section 4.2.2

[7] IEEE Computer Society (August 29, 2008). "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic". IEEE. doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.

[8] Villa, Oreste; Chavarría-mir, Daniel; Gurumoorthi, Vidhya; Márquez, Andrés; Krishnamoorthy, Sriram, Effects of Floating-Point non-Associativity on Numerical Computations on Massively Multithreaded Systems (PDF), erişim tarihi: 2014-04-08

[9] Goldberg, David, "What Every Computer Scientist Should Know About Floating Point Arithmetic" (PDF), ACM Computing Surveys, 23 (1), ss. 5-48, erişim tarihi: 2014-04-08

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]