Bernoulli diferansiyel denklemi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Matematikte, bir adi diferansiyel denklemin açık biçimi şöyledir:

, (Denklem I)

Yukarıdaki denklemde n≠1 ve n≠0 olursa bu denkleme Bernoulli diferansiyel denklemi denir. Bu ad, Jakob Bernoulliye ithaf olsun diye 1695 yılında konuldu. Bernoulli denklemleri özeldir. Çünkü tam çözümleri bilinir ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerdir.

Çözüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki adi diferansiyel denklemde eşitliğin her iki tarafı ile bölünürse denklem aşağıdaki gibi olur:

, (Denklem II)

Burada aşağıdaki gibi bir değişken değiştirme yapılırsa;

, (Denklem III) türevi;
, (Denklem IV)

(Denklem III) ve (Denklem IV), (Denklem II)'de yerine konulursa;

, (Denklem V)

Bu adımda aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılarak denklem çözülebilir.

. (Denklem VI)

Örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki Bernoulli denklemi örneğimiz olsun.

, (Eşitlik I)

, bir çözümdür. Eşitlik ile bölünürse

, (Eşitlik II)

(Eşitlik II)'de aşağıdaki gibi bir değişken değişimi uygulanırsa;

, (Eşitlik III) türevi;
. (Eşitlik IV)

(Eşitlik III) ve (Eşitlik IV), (Eşitlik II)'de yerine konulursa;

, (Eşitlik V)

Aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılırsa denklem çözülebilir;

(Eşitlik VI)

Her iki tarafı ile çarpalım,

(Eşitlik VII)

Sol taraf 'nin türevidir. Bu denklemde her iki tarafın integrali alınırsa;

(Eşitlik VIII)
(Eşitlik IX)
(Eşitlik X)

'nin çözümü;

(Eşitlik XI)

Yukarıda da belirtildiği gibi da bir çözümdür.

MATLAB kullanarak bunun doğruluğunu görebiliriz;

x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x')

Yukarıdaki söz dizimi her iki çözümü verir;

0
x^2/(x^5/5 + C1)

Ayrıca, hesaba katılmadan yapılan, çözümü Wolfram Alpha'da görebilirsiniz.