Afin dönüşümler

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara
bir eğrelti benzerifraktal resmi afin kendine-benzer gösterimdir. Ve her eğreltinin otunun yapraklarıbir afin dönüşüm tarafından bir diğeri ile ilişkilidir. Örneğin,yansıma, dönme, genişleme, ve çevirme kırmızı yaprak kombinasyonu tarafından mavi yaprak haline dönüştürülebilir.

geometride,afine dönüşüm veya afin haritada [1] veya affinity de (Latinceden, affinis, "birlikte bağlılık") afin uzay noktalar, düz çizgiler ve düzlem arasında fonksiyon korunur . Ayrıca, paralellik kümesi ile çizgiler bir afin dönüşüm sonrası paralel kalır.Bir afin dönüsümde düz bir çizgi üzerinde duran nokta arasındaki mesafe oranları korunmasına rağmen,çizgiler veya noktalar arasındaki mesafeler arasi açılar mutlaka korumaz.

Afin dönüşümlere örnek olarak sırayla öteleme,ölçek,benzeşim,benzerlik dönüşümü,yansıma,dönme,kayma eşlemesi ve kompozisyonlar ve bunların herhangi bir kombinasyonudur.Her doğrusal dönüşüm afindir,ama her afin dönüşüm doğrusal değildir.

Eğer X ve Y afin uzayları ise,her afin dönüşüm

x \mapsto Mx + b formu,
f : X \to Y dir.

Burada M bir lineer dönüşümün X girişi ve b bir vektörYdür ve lineer bir dönüşümün tamamen farklı,afin bir haritada doğrusal bir alanda sıfır noktasıninin korunması gerekmez.

Öklid uzayı çok amaç için bir afin uzay olarak düşünülüyor olabilir,Afin uzayı kavramı daha genel olmasına rağmen (yani, tüm Öklid uzaylar afin, ama Öklidyen olmayan olan afin uzaylarda vardır).afin koordinatlarda,kartezyen koordinatlar Öklid uzaylarinda yer alır, Bir afin haritanın her koordinatı çıkışı doğrusal fonksiyondur; o zaman,(durum vektörleri) her hangi bir afin dönüşüm bir doğrusal dönüşüme eşdeğerdir bir öteleme aşağıdadır.

Matematiksel Tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

İki afin uzay arasında (bu,iki uzay noktaları arasındaki vektörler olup) vektörler üzerinde doğrusal hareket noktalarının bir göndermesidir[1] f:\mathcal{A} \to \mathcal{B} Semboller, bu noktaların herhangi bir çifti için bir f lineer dönüşüm olan φ 'yi belirler;

P, Q \in \mathcal{A}:
\overrightarrow{f(P)~f(Q)} = \varphi(\overrightarrow{PQ})

veya

f(Q)-f(P) = \varphi(Q-P).

Aşağıda başka birkaç yolla bu tanımı yorumlayabiliriz..

O \in \mathcal{A} seçersek,imaji B olur f(O) \in \mathcal{B}, bu demektir ki bir vektör \vec{x}:

f: (O+\vec{x}) \mapsto (B+\varphi(\vec{x}))

Eğer orijin O' \in \mathcal{B} seçilirse buu bir afin dönüşüm olarak ayrıştırılabilir ve B görüntüsüf(O) \in \mathcal{B} ise,herhangi bir \vec{x} vektörü için bunun anlamı

g: (O+\vec{x}) \mapsto (O'+\varphi(\vec{x})) ,
g : \mathcal{A} \to \mathcal{B} buraya gönderir O \mapsto O' yani
\vec{b} = \overrightarrow{O'B} tarafından aşağıda çevrilen sonuç olarak bu,sezgisel bir f bir çevirisi ile doğrusal harita oluşur.

Alternatif tanımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayni alan üzerinde iki Afin uzay \mathcal{A} ve \mathcal{B} veriliyor f: \mathcal{A} \to \mathcal{B} fonksiyonu afin bir göndermedir ancak ve ancak her aile için \{(a_i, \lambda_i)\}_{i\in I} \mathcal{A} agirklik noktalaridir böylece

\sum_{i\in I}\lambda_i = 1 ,

[2]

f\left(\sum_{i\in I}\lambda_i a_i\right)=\sum_{i\in I}\lambda_i f(a_i)\, .

Bir diğer ifadeyle, f barycenter ler korunur.

Gösterimler[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıda gösterilen, bir afin gönnderme iki fonksiyonun kompozisyonudur: bir öteleme ve bir doğrusal gönderme. Olağan vektör cebri doğrusal göndermeler gönderimi için matris çarpımı ve ötelemeler gösterimi için vektör toplamı kullanılıyor. Resmi olarak,sonlu-boyutlu durum içinde, eğer doğrusal gönderme bir matris A ile bir çarpım olarak ve bir vektör \vec{b}nin toplamı öteleme olarak gösteriliyorsa, bir vektör \vec{x} üzerinde hareketi bir afin gönderme f olarak gösterilebilir


\vec{y} = f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b}.

Genişletilmiş matris[değiştir | kaynağı değiştir]

2D düzlem üzerinde afin dönüşümler üç boyutlu olarak gerçekleştirilebilir. öteleme z ekseni üzerinde boyunca kesme yapılır, ve dönme z ekseni etrafında yapılır.

Bir genişletilmiş matris ve bir genişletilmiş vektör kullanılıyor, bunu hem öteleme ve hem doğrusal gönderme bir tek matris çarpımı ile temsil etmek mümkündür.Bu teknikle tüm vektörleri genişletmek gerekir sonda bir "1" ile genişler,ve tüm matrisler altta sıfırın bir fazladan satırı kadar genişletiliyor,bir fazladan sütun sağa-öteleme vektörü-ve sağ alt köşe içinde bir "1". Eğer A bir matris ise,


\begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \vec{b} \ \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{bmatrix}

aşağıdakine eşdeğerdir.


\vec{y} = A \vec{x} + \vec{b}.

Düzlemin afin dönüşümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Merkezi bir genleşme.Üçgenler A1B1Z, A1C1Z, ve B1C1Z eşleştirilir olsun sırasıyla A2B2Z, A2C2Z, ve B2C2Z.

Iki gerçek boyutlu Afin dönüşümler dahil:

  • tam öteleme,
  • Başka bir yönde bir çizgi ile ilgili olarak belirli bir yönde ölçekleme(dik olması gerekmez), öteleme ile birlikte ölçekleme yönünde saf değildir; genel bir anlamda "ölçeklendirme" alarak bu durumlarda içeren ölçek faktörü (izdüşüm) sıfırdır veya negatiftir; sonraki yansıma içerir, ve öteleme ile birlikte öteleme yansıması içerir,
  • dönmeye kombine benzerlik ile bir öteleme,
  • kesme gönderme bir benzeşim ve bir öteleme ile birlikte,veya
  • sıkı gönderme bir benzeşim ve bir öteleme ile birlikte.

Öklid planında genel afin gösteriminin görselleştirilmesi için paralelkenarlar ABCD ve A′B′C′D olarak ′etiketlenir. Seçilen herhangi iki nokta burada,A dan A′ya T planında afin dönüşüm olarak alınıyor, ve her tepe eşdeğerdir. Varsayalımki dejenere durumları dışlıyoruz burada ABCDsıfır bölge idi,ayrıca burada tek benzersiz afin dönüşüm T dir. ABCD tabanlı paralelkenarın bir bütün gridi dışarı sürülerek,herhangi bir T(A) belirtilerek P noktası tarafından belirlenen bu imaj T(P) dir. T(A) = A′,T AB çizgi parçasına uygulanan A′B′dir, T' çizgi parçasına uygulanan AC A′C′dir, ve A tabanlı vektörlerin T sırasıyla skaler topluluğudur.[Eğer A, E, F eşdoğrusal ise kesir(AF)uzunluğu/(AE)uzunluğu eşittir.(AF′)uzunluğu/(AE′) uzunluğu.] geometrik T ye göre ABCD yi A′B′C′D′ tabanına grid dönüştürür .

Afin dönüşümlerin uzunlukları veya açılarını sırası yok etmek için bu alanı sabit bir katsayısı ile çarpmak gerekir.

A′B′C′D′ bölgesi / ABCD bölgesi.

olarak verilen bir T ye doğrudan (sıralı yönlendirme ), veya dolaylı (ters yönlendirme) olabilir , ve bu işaret olarak etkisi tarafından belirlenen bölgedir (örnek için vektörlerin çapraz çarpım'ı tanımlanır).

Afin dönüşümlerin örnekleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Reel sayılar üzerinde Afin dönüşümler[değiştir | kaynağı değiştir]

f : RR fonksiyonları, f(x) = mx + c ile m ve c sabiti,olağan afin dönüşümler yapar.

Sonlu bir alan üzerinde afin dönüşüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir afin dönüşüm içeren GF(28) denklemi aşağıdaki ifade edilmiştir:


\{\,a'\,\} = M\{\,a\,\} \oplus \{\,v\,\},
burada [M] matristir ve {v} vektördür.
M\{\,a\,\}=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0&1&1&1&1 \\
1&1&0&0&0&1&1&1 \\
1&1&1&0&0&0&1&1 \\
1&1&1&1&0&0&0&1 \\
1&1&1&1&1&0&0&0 \\
0&1&1&1&1&1&0&0 \\
0&0&1&1&1&1&1&0 \\
0&0&0&1&1&1&1&1
\end{bmatrix}
 :\{\,v\,\}= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}.

Örneğin,büyük-sonlu ikili gösterimi içinde aşağıdaki hesaplanan elemanın afin dönüşümü büyük-sonlu hekzadesimal gösterim içinde {CA} ={a} = y7 + y6 + y3 + y = {11001010} :

a_0' = a_0 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1
a_1' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 0
a_2' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1
a_3' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1
a_4' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 = 0
a_5' = a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus 1 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 = 1
a_6' = a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 1
a_7' = a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1.

Böylece, {a′} = y7 + y6 + y5 + y3 + y2 + 1 = {11101101} = {ED} afin dönüşümü elde edilir.

Düzlem geometride Afin dönüşüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçek düzlemde basit bir afin dönüşüm

2 içinde,dönüşüm tarafından verilen gönderme ile sağ tarafta gerçekleştirilen gösterim:

\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0&1\\ 2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -100 \\ -100\end{bmatrix}

Orijinal üçgen (kırmızı) üç köşe noktaları dönüşüm ile yeni üçgen(mavi) oluşturan üç yeni nokta verir. Bu dönüşüm orijinal üçgeni eğriltir ve öteler. Aslında, her üçgen bir afin dönüşümler başka bir üçgen ile ilgilidir.Bu, aynı zamanda tüm paralelkenarlar için değil,tüm dörtgenler için de geçerlidir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Berger, Marcel (1987), p. 38.
  2. ^ Schneider, Philip K. & Eberly, David H. (2003). Geometric Tools for Computer Graphics. Morgan Kaufmann. s. 98. ISBN 978-1-55860-594-7. http://books.google.com/books?id=3Q7HGBx1uLIC&pg=PA98. 

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]