Einstein tensörü

Differansiyal geometri içerisinde, (Einstein Tensör adı Albert Einstein'dan gelmektedir; ayrıca iz-ters olarak Ricci Tensör olarak bilinmektedir). Gerçek olmayan Riemannia çok katlılarını ifade etmek için kullanılan eğriliktir. Genel Görelikte içerisinde, Einstein Tensör’ünün ortaya çıkardığı Einstein’nın alan denklemlerinin kütleçekimi için tanımladığı uzay-zaman eğriliğini tutarlı bir şekilde enerji ile açıklamasıdır.

Tanım

Einstein tensörü 2 dereceden tensör üzerinde tanımlanan Gerçek olmayan riemania çok katlılarında indeks serbest notasyonunda tanımlanır.

${\mathsf {G}}=\mathrm {R} -{1 \over 2}{\mathsf {g}}R$

Burada $\mathrm {R}$ Ricci tensörü, g metrik tensör ve R skaler eğriliktir. Bileşen formda, önceki denklem gibi okunur.

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }$

Einstein Tensör’ü simetriktir. Yani transpozu yine kendisine eşittir.

$G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }$

 ve stres enerji tensörü gibi farksız 

$\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0$

Açık biçim

Ricci tensörü sadece metrik tensöre bağlıdır. Böylece Einstein tensör sadece metrik tensör ile doğrudan tanımlanabilir. Ancak, bu ifade karmaşık ve alıntıdır ders kitapların içerisinde. Christoffel sembolleri bu ifadenin karmaşıklığı bakımından Ricci tensörü için formül kullanılarak gösterilebilir. Christoffel sembolleri:

nerede olduğunu Kronecker tensör ve Christoffel sembolü olarak tanımlanır.

Sadeleştirmeden önce, bu formül sonuçları bireysel terimlerin içerisindedir. 

Yerel özel durumda atalet referans çerçevesine bir nokta yakınında, metrik tensör ilk türevleri kaybolur ve Einstein tensörü bileşeni formu ölçüde basitleştirilmiş: 

${\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}$

Nerede geleneksel köşeli parantezler asimetrik olarak gösterilen yani üzerinde parantez endeksleriyle

$g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }).$

İz

Iz Einstein tensörün tarafından hesaplanabilir sözleşme denklem tanımı ile metrik tensör içinde (keyfi imzanın) boyutları:

Fizikte 4 boyutlarının özel bir durumunu (3 uzay, 1 zaman) verir. Einstein tensörünün izi, negative olarak Ricci tensörü izi gibi. Diğer bir isimde Einstein Tensörü için iz-ters Ricci Tensörüdür.

Genel Görelikte kullanım

Einstein tensörü Einstein’nın alan denklemlerine olanak veriyor. Tabi evren sabiti haric tutularak, özlü bir biçimde yazıldığında 

Geometrik açıdan ele alınmış birimlere olanak verir. (Örneğin, c = G (Newton'un yerçekimi sabiti ve Einstein tensörü iz değil) = 1 yani)

Einstein tensörü açık formundan, Einstein tensörü bir metric tensörün doğrusal olmayan fonksiyonudur. Ama ikinci türevini aldığımızda doğrulsal olduğunu göreceğiz. Einstein tensör 4 boyutlu uzayda 10 bağımsız bileşeni vardır.

Einstein alan denklerimi Bianchi kimlikler otomatik kovaryant korunmasını sağlamak stres enerji tensörü kavisli uzay zamanlar içinde:

 Bianchi kimliklerde kolayca Einstein tensörü yardımıyla ifade edilebilir: 

Bianchi kimlikler otomatik kovaryant korunmasını sağlamaktadır ve stres enerji tensörü kavisli uzay zamanlar içinde:

             Einstein tensörü fiziksel önemi bu kimlik ile vurgulanır. Hassasiyeti azaltılmış gerilme tensörü açısından bir üzerinde sözleşmeli Öldüren vektörü Sıradan bir koruma yasası tutar:

$\partial _{\mu }({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu })=0$.

Teklik

David Lovelock 4 boyutta diferansiyellenebilen katmanları gösterdi.Einstein Tensörü ise sadece tensörel ve uzaklaşma-serbest fonksiyonu ve birincil, ikincil kismi türeblerde gösterdi.

 Ancak, Einstein alan denklemleri üç koşulları karşılayan tek denklem değildir: 

1. 1. Benzerler ama genelleme Newton-Poisson denklemi yerçekimi için
2. 2. Koordinat sistemleri tümü için geçerlidir 
3. 3. Herhangi bir metrik tensör için enerji-momentum yerel kovaryant korunmasını garanti eder.  

Birçok alternatif teoriler gibi, öne sürülmüştür Einstein-Cartan teori de yukarıdaki koşulları yerine vb ....

Ayrıca bakınız

• Mathematics of general relativity
• General relativity resources