Vikipedi, özgür ansiklopedi
0 ile sonsuza kadar devreden 9'lardan oluşan 0,99999... sayısı
0
,
9
_
{\displaystyle 0{,}{\underline {9}}}
0
,
9
¯
{\displaystyle 0{,}{\bar {9}}}
0
,
9
˙
{\displaystyle 0{,}{\dot {9}}}
matematiksel ifade. Bu eşitliğin ispatları:
Cebirsel ispatlar Devirli Ondalık Sayılardan Her rasyonel ifade sonlu sayıda rakam barındıran ondalık sayılarla ifade edilemez. Mesela;
5
9
=
0
,
5
¯
{\displaystyle {\frac {5}{9}}=0{,}{\bar {5}}}
1
3
=
0
,
3
¯
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=0{,}{\bar {3}}}
3
3
=
3
×
0
,
3
¯
{\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0{,}{\bar {3}}}
1
=
0
,
9
¯
{\displaystyle 1=0{,}{\bar {9}}}
Dört İşlemden 0,(9) sayımıza matematik dilinde bilinmeyen ifadelere verilen x diyelim.
x
=
0
,
9
¯
{\displaystyle x=0{,}{\bar {9}}}
Her iki tarafı 10 ile çarpalım.
10
x
=
9
,
9
¯
{\displaystyle 10x=9{,}{\bar {9}}}
Her iki taraftan sayının kendisini, yani x i çıkaralım
9
x
=
10
x
−
x
=
9
,
9
¯
−
0
,
9
¯
=
9
{\displaystyle 9x=10x-x=9{,}{\bar {9}}-0{,}{\bar {9}}=9}
Sadeleştirelim.
x
=
1
_
{\displaystyle x=1{\underline {}}}
Limitten Sayımızı limit dilinde ifade edelim:
0
,
9
¯
…
=
lim
n
→
∞
0
,
99
…
9
⏟
n
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
9
10
k
=
lim
n
→
∞
(
1
−
1
10
n
)
{\displaystyle 0{,}{\bar {9}}\ldots =\lim _{n\to \infty }0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}
n sonsuza giderken
1
10
n
{\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}}
=
1
−
lim
n
→
∞
1
10
n
=
1
{\displaystyle =1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,}
Sonsuz Serilerden Teorem:
|
r
|
<
1
{\displaystyle |r|<1}
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
=
a
r
1
−
r
{\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}}
Genel terimi
r
=
1
10
{\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}
0
,
9
¯
…
=
9
(
1
10
)
+
9
(
1
10
)
2
+
9
(
1
10
)
3
+
⋯
=
9
(
1
10
)
1
−
1
10
=
1.
{\displaystyle 0{,}{\bar {9}}\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,}
Dış bağlantılar
Wikimedia Commons'ta 0,999...
