Lamb kayması

Lamb kayması, adını Willis Lamb'den alan, hidrojen atomunun kuantum elektrodinamiğindeki ²S_1/2 ve ²P_1/2 (sembol gösterimi ile) enerji düzeyleri arasındaki küçük farklılıktır. Dirac denklemine göre, ²S_1/2 ve ²P_1/2 orbitalleri (yörüngeleri) aynı enerjiye sahip olmalıdır. Ancak, boşluktaki elektronlar arasındaki etkileşim (ki bu etkileşim Dirac denklemi ile açıklanamaz), ²S_1/2 ve ²P_1/2 enerji düzeylerinde küçük bir enerji değişimine sebep olur. Lamb ve Robert Retherford bu değişimi 1947'de ölçmüşlerdir ve bu ölçüm, ıraksamayı açıklamak için tekrar normalleştirme teorisine teşvik edici bir unsur olmuştur. Bu, Julian Schwinger, Richard Feynman, Ernst Stueckelberg ve Sin-Itiro Tomonaga tarafından geliştirilmiş modern kuantum elektrodinamiğinin (elektrikseldevinim bilgisi) müjdecisiydi. Lamb, 1955 yılında Lamb kayması ile ilgili keşiflerinden ötürü Nobel Fizik Ödülü'nü kazandı.

Türetimi

Bu sezgilere dayalı elektrodinamik seviye kayması çıkarımı Weltonu takiben kuantum optiktendir (nicem ışıkbilgisi).

Elektrik ve manyetik (kutupsal) alanlardaki QED boşluk ile ilgili dalgalanma, atomik çekirdekten kaynaklanan elektrik potansiyeli rahatsız eder. Bu rahatsızlık, elektronun konumunda bir dalgalanmaya sebep olur ve bu da enerji kaymasını açıklar. Potansiyel enerjideki değiþim şu şekildedir:

$\Delta V=V({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})-V({\vec {r}})=\delta {\vec {r}}\cdot \nabla V+{\frac {1}{2}}(\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}V({\vec {r}})+...$

Dalgalanmalar izotropik (yönbağımsız) olduğundan,

$\langle \delta {\vec {r}}\rangle _{vac}=0$

$\langle (\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}\rangle _{vac}={\frac {1}{3}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{vac}\nabla ^{2}$.

Sonuç olarak şu şekilde elde ederiz ki,

$\langle \Delta V\rangle ={\frac {1}{6}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{vac}\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{at}$.

Elektronun yer değişimini veren (δr)_k→ tek bir alandaki dalga vektörü ${\vec {k}}$' ya ve frekans v'ye indirgenmiş klasik hareket formülü şudur:

$m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\delta r)_{\vec {k}}=-eE_{\vec {k}}$,

ve bu denklem sadece frekans v'nin v_0'dan büyük olduğu Bohr yörüngelerinde geçerlidir, ν > πc/a_0.

v frekansýyla salınım yapan bir alan için

$\delta r(t)\cong \delta r(0)e^{-i\nu t}+c.c.$,

bu nedenle

$(\delta r)_{\vec {k}}\cong {\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}E_{\vec {k}}={\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}{\mathcal {E}}_{\vec {k}}(a_{\vec {k}}e^{-i\nu t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+h.c.)$.

bütün ${\vec {k}}$'nın toplanmasıyla,

$\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{vac}=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\langle 0|(E_{\vec {k}})^{2}|0\rangle =\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)$,

burada $\Omega$ herhangi büyük normalleştirme hacmidir (kuramsal, içinde hidrojen atomu barındıran "kutu"nun hacmi)

${\mathcal {E}}_{\vec {k}}=(\hbar ck/2\epsilon _{0}\Omega )^{1/2}$.

k→ devamlı olduğu için toplama integrale (tümleve) dönüşür, $\sum _{\vec {k}}\rightarrow 2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k$, dolayısıyla

$\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{vac}=2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}4\pi \int dkk^{2}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)={\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {dk}{k}}$.

Bu sonuç, integralin (tümlevin) sınırları yokken sonsuza gider. Ancak bu metot sadece ν > πc/a₀, iken veya eşdeğeri k > π/a₀ iken geçerlidir. Ayrıca, dalga boyu Compton dalga boyundan uzun olan durumlarda veya eşdeğeri k < mc/ħ iken geçerlidir. Buna göre integralin (tümlevin) üst ve alt limitlerini (sınırlarını) seçebiliriz ve limitler sonucu yakınsaklaştırır:

$\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{vac}\cong {\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}$.

atomik yörünge ve Coulomb potansiyeli (gerilimi) için;

$\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{at}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec {r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2}$,

bildiğimize göre;

$\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta ({\vec {r}})$.

p yörüngeleri için, göreli olmayan dalga fonksiyonları (işlevleri) orijinde (başlangıç noktası) kaybolur, böylece enerji kayması olmaz. Ancak s yörüngeler için başlangıç noktasında bazı sınırlı değerler vardır.

$\psi _{2S}(0)={\frac {1}{(8\pi a_{0}^{3})^{1/2}}}$,

Burada Bohr yarıçapı;

$a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}$.

Bu nedenle

$\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{at}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi _{2S}(0)|^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}a_{0}^{3}}}$.

Sonuç olarak potansiyel (gerilim) enerji farkı þu hale gelir:

$\langle \Delta V\rangle ={\frac {4}{3}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}{\frac {1}{8\pi a_{0}^{3}}}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}$.

Bu kayma yaklaşık 1 GHz civarıdır, gözlemlenmiş kaymaya çok yakın düzeydedir.

Deneysel çalışmalar

1947'de Willis Lamb ve Robert Retherford hidrojen atomundaki ²S_1/2 ve ²P_1/2 enerji düzeylerini radyo frekansı (tekrarsıklığı) geçişlerini uyarmak için minidalga teknikleri kullanarak bir deney gerçekleştirdiler. Bunu Doppler genişlemesinin (Doppler genişlemesi frekans ile doðru orantılıdır) ihmal edilebileceği, optik (ışıkbilgisi) geçişlerden daha küçük frekanslarla yaptılar. Lamb ve Retherfordun bulduğu enerji farkı 1000 MHz civarı ²S_1/2 düzeyinin ²P_1/2 düzeyine yükselmesiydi.

Bu belirli farklılık kuantum elektrodinamiğinin (nicem elektrikseldevinim bilgisi) tek-döngü etkisidir ve atom tarafından salınmıþ ve geri emilmiş sanal fotonların etkisi olarak da değerlendirilebilir. Kuantum elektrodinamiğinde elektromanyetik alan (akımmıknatısal alan) nicemlidir -kuantum mekaniğindeki harmonik osilatör (uyumlu salıngaç) gibi- ve en düşük durumu sıfırdan farklıdır. Buna göre, elektronun çabuk salınımsal hareket yapmasını sağlayan çok küçük 0.00... şeklinde bir salınım mevcuttur. Elektron yayılır ve yarı çapı r'dan  r + δr'ye değişir.

Coulomb potansiyeli (gerilimi) buna göre küçük bir miktar ile rahatsız edilir ve iki enerji düzeyinden kaynaklanan bozunma silinmiş olur. Yeni potansiyel (atomik birimler kullanılarak) şu şekilde yaklaşık olarak hesaplanabilir:

$\langle E_{\mathrm {pot} }\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .$

Lamb kayması şu şekilde verilmiştir:

$\Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}}\ \mathrm {for} \ \ell =0\,$

k(n, 0)'ın 13 yakınlarında n ile değişmesiyle, ve

$\Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,\ell )\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(\ell +{\frac {1}{2}})}}\right]\ \mathrm {for} \ \ell \neq 0\ \mathrm {and} \ j=\ell \pm {\frac {1}{2}},$

k(n,ℓ) küçük sayısı (< 0.05)

ΔE_Lamb çıkarımı için örneği inceleyeniz.

Hidrojen tayfında Lamb kayması

Hidrojen tayfındaki Lamb kaymasını ilk kez 1947'de Hans Bethe açıkladı ve buna göre kuantum elektrodinamiğin modern gelişiminin önünü açtı. Lamb kayması günümüzde kuantum elektrodinamiğinin hassas denemelerini sağlayan, ince yapı sabiti α'nın milyonda birden daha iyi ölçülmesini sağlar.

Lamb kaymasına farklı bir bakış açısı Zitterbewegung ile alakalıdır.

İleri Okuma

• Boris M Smirnov (2003). Physics of atoms and ions. New York: Springer. ss. 39-41. ISBN 0-387-95550-X. 
• Marlan Orvil Scully & Muhammad Suhail Zubairy (1997). Quantum optics. Cambridge UK: Cambridge University Press. ss. 13-16. ISBN 0-521-43595-1. 

Dış bağlantılar

• Hans Bethe talking about Lamb-shift calculations on Web of Stories
• Nobel Prize biography of Willis Lamb
• Nobel lecture of Willis Lamb: Fine Structure of the Hydrogen Atom