Çarpımsal basamak

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Sayılar kuramında, verili a tamsayısının pozitif ve 1'den büyük bir n tam sayısına göre çarpımsal basamağı (ya da mertebesi), mod n 'de ak 'yı 1 yapan en küçük ve pozitif k tam sayısıdır. Örneğin mod 5'te 2'nin çarpımsal basamağı 4'tür; mod 39'da 2'nin çarpımsal basamağı 12'dir; mod 561'de 2'nin çarpımsal basamağı 560'tır.

Gösterilebilir ki, a ve n aralarında asal değilse böyle bir k sayısı yoktur. Aksi durumda, her zaman bir çarpımsal basamak vardır; bu şöyle ispatlanabilir: öyle iki pozitif tam sayı vardır ki (bunlar s ve t olsun; s daha büyük olsun) as ve at mod n 'de denktirler. a ve n aralarında asalsa at ile n de aralarında asaldır. Öyleyse denkliğin iki tarafından at sadeleştirilebilir ve as-t mod n 'de 1'e denk bulunur.

Diğer taraftan, n asalsa ve n a 'yı bölmüyorsa, a 'nın mod n 'de çarpımsal basamağı n-1 'dir. Bunu söyleyen teorem, Fermat'nın Küçük Teoremi'dir. n asal değilse, a ile n aralarında asal olsalar bile, a 'nın çarpımsal basamağına ilişkin bir şey söylemek zordur. Yukarıdaki ikinci örneğe bakınız.