Gelfond sabiti

$e^\pi \approx 23.14069263277926\dots\,.$

sayısına Aleksandr Gelfond'a atfen Gelfond sabiti adı verilmiştir; e^π e sayısının π'inci kuvvetidir ve aşkın sayıdır.Gelfond–Schneider theorem'i ile kanıtlanabilir. $e^\pi \; = \; (e^{i\pi})^{-i} \; = \;(-1)^{-i}$ bağıntısında i sayısı imajiner kısımdır ve -i'de cebirsel bir sayıdır,ama $e^{\pi}$ cebirsel sayılar'dan değildir,yani transandantal sayılar dandır ve Hilbert'in yedinci teoreminde bahsi geçer. Matematiksel açıdan estetik olan yönü;

$e^\pi \; =\;i^{-2\,i}$ veya $e^{{\pi}/2} \; =\;i^{-i}$

ifadesi ile daha iyi anlaşılabilir.Çünkü eşitliğin bir tarafı tamamen reel'ken diğer tarafı tamamen imajinerdir.(hangisi gerçek?!)

Nümerik değeri

Gelfond sabiti onluk sayı sisteminde açılımında:

$e^\pi \approx 23.14069263277926\dots\,.$

$\scriptstyle k_0\,=\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ olarak tanımlarsak;

$k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}$

$n > 1$ için bu dizi

$(4/k_n)^{2^{1-n}}$ şeklinde gösterilebilir.

bununda limiti $e^\pi$ şeklindedir.

Geometrik gariplik

n-boyutlu kürenin (veya n-sphere) hacmi

$V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.$

şeklinde verilir.

Birim veya üzeri tüm boyutlardaki kürenin hacmini özetleyen formül

$V_{2n}=\frac{\pi^{n}}{n!}\$

Birim ve üzerindeki boyutlardaki kürelerin hacimlerinin toplamını veren formül:

$\sum_{n=0}^\infty V_{2n} = e^\pi. \,$

Sayısal gariplik

$e^\pi-\pi=19.99909997918947\ldots\,.$

Bazı değerler

$e^{\frac{\pi}{2}}\; =\;i^{-i} \approx 4.81047738096535\dots\,.$

$e^{-\frac{\pi}{2}}\; =\;i^{i} \approx 0.20787957635076\dots\,.$

$e^{-\frac{\pi^2}{4}}\; =\;e^{{ln(i)}^2}\; =\;i^{ln(i)} \approx 0,1076929315\dots\,.$

e^π ile π^e arasındaki ilişki:

$\pi^e \; =\;e^{{e}\,ln{\pi}}\approx 22,4591577183610454\dots\,.$

$\;{{e}\,ln{\pi}} \approx 3,111698447198\dots\,.$

${\pi}-\;{{e}\,ln{\pi}} \approx 0,0298942063913\dots\,.$

$e^{{\pi}-\;{{e}\,ln{\pi}}} \;={\frac{e^\pi}{\pi^e}}\;=1,03034552421621$

$e^{\;{{e}\,ln{\pi}}-{\pi}} \;={\frac{\pi^e}{e^\pi}}\;=0,970548205914423$

${\frac{\pi^e}{e^\pi}}+{\frac{e^\pi}{\pi^e}};=2,0008937301306$

Kaynakça

1. ^ Nesterenko, Y (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems". Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1 322 (10): 909–914. 2. ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame

Dış bağlantılar

• Gelfond's constant at MathWorld
• A new complex power tower identity for Gelfond's constant