Gelfond sabiti

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
e^\pi  \approx 23.14069263277926\dots\,.

sayısına Aleksandr Gelfond'a atfen Gelfond sabiti adı verilmiştir; eπ e sayısının π'inci kuvvetidir ve aşkın sayıdır.Gelfond–Schneider theorem'i ile kanıtlanabilir.  e^\pi  \;  = \;    (e^{i\pi})^{-i}   \;  =   \;(-1)^{-i} bağıntısında i sayısı imajiner kısımdır ve -i'de cebirsel bir sayıdır,ama e^{\pi} cebirsel sayılar'dan değildir,yani transandantal sayılar dandır ve Hilbert'in yedinci teoreminde bahsi geçer. Matematiksel açıdan estetik olan yönü;

 e^\pi  \;  =\;i^{-2\,i} veya  e^{{\pi}/2}  \;  =\;i^{-i}

ifadesi ile daha iyi anlaşılabilir.Çünkü eşitliğin bir tarafı tamamen reel'ken diğer tarafı tamamen imajinerdir.(hangisi gerçek?!)

Nümerik değeri[değiştir | kaynağı değiştir]

Gelfond sabiti onluk sayı sisteminde açılımında:

e^\pi  \approx 23.14069263277926\dots\,.
\scriptstyle k_0\,=\,\tfrac{1}{\sqrt{2}} olarak tanımlarsak;
k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}
n > 1 için bu dizi[kaynak belirtilmeli]
(4/k_n)^{2^{1-n}} şeklinde gösterilebilir.
bununda limiti e^\pi şeklindedir.

Geometrik gariplik[değiştir | kaynağı değiştir]

n-boyutlu kürenin (veya n-sphere) hacmi
V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.
şeklinde verilir.
Birim veya üzeri tüm boyutlardaki kürenin hacmini özetleyen formül
V_{2n}=\frac{\pi^{n}}{n!}\
Birim ve üzerindeki boyutlardaki kürelerin hacimlerinin toplamını veren formül:
\sum_{n=0}^\infty V_{2n} = e^\pi. \,

Sayısal gariplik[değiştir | kaynağı değiştir]

e^\pi-\pi=19.99909997918947\ldots\,.

Bazı değerler[değiştir | kaynağı değiştir]

 e^{\frac{\pi}{2}}\;  =\;i^{-i}  \approx 4.81047738096535\dots\,.
 e^{-\frac{\pi}{2}}\; =\;i^{i}  \approx 0.20787957635076\dots\,.
 e^{-\frac{\pi^2}{4}}\; =\;e^{{ln(i)}^2}\; =\;i^{ln(i)} \approx 0,1076929315\dots\,.

eπ ile πe arasındaki ilişki:

 \pi^e  \;  =\;e^{{e}\,ln{\pi}}\approx 22,4591577183610454\dots\,.
 \;{{e}\,ln{\pi}} \approx 3,111698447198\dots\,.
 {\pi}-\;{{e}\,ln{\pi}} \approx 0,0298942063913\dots\,.
 e^{{\pi}-\;{{e}\,ln{\pi}}} \;={\frac{e^\pi}{\pi^e}}\;=1,03034552421621
 e^{\;{{e}\,ln{\pi}}-{\pi}} \;={\frac{\pi^e}{e^\pi}}\;=0,970548205914423
{\frac{\pi^e}{e^\pi}}+{\frac{e^\pi}{\pi^e}};=2,0008937301306

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

1. ^ Nesterenko, Y (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems". Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1 322 (10): 909–914. 2. ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Mathanalysis-stub