Dini testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte Dini ve Dini-Lipschitz testleri, bir fonksiyonun Fourier serisinin bir noktada yakınsadığını kanıtlamak için kullanılabilen oldukça kesin testlerdir. Bu testler, Ulisse Dini ve Rudolf Lipschitz'in arkasından isimlendirilmiştir.[1]


Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

f, [0,2π] üzerinde bir fonksiyon, t bir nokta ve δ, bir pozitif sayı olsun. t 'deki yerel süreklilik modülüsü

\left.\right.\omega_f(\delta;t)=\max_{|\varepsilon| \le \delta} |f(t)-f(t+\varepsilon)|

ile tanımlanır. f burada periyodik bir fonksiyondur; yani t = 0 ise ve ε negatifse, o zaman şöyle tanımlarız: f(ε) = f(2π + ε).

Global sürekliklilik modülüsü (veya basitçe süreklilik modülüsü) ise

\left.\right.\omega_f(\delta) = \max_t \omega_f(\delta;t)

ile tanımlanır. Bu tanımlarla esas sonuçları ifade edebiliriz.


Teeorem (Dini testi): Bir f fonksiyonu bir t noktasında

\int_0^\pi \frac{1}{\delta}\omega_f(\delta;t)\,d\delta < \infty

eşitsizliğini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi t 'de f(t) 'ye yakınsar.

Örneğin, teorem \omega_f=\log^{-2}(\delta^{-1}) iken tutar ama \log^{-1}(\delta^{-1}) iken tutmaz.

Teorem (Dini-Lipschitz testi): Bir f fonksiyonu

\omega_f(\delta)=o\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{-1}

ifadesini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi düzgün bir şekilde f 'ye yakınsar.

Özelde, Hölder sınıfında yer alan herhangi bir fonksiyon Dini-Lipschitz testini sağlar.

Kesinlik[değiştir | kaynağı değiştir]

Her iki test de kendi türlerinin en iyisidir. Dini-Lipschitz testi için, süreklilik modülüsü testini o yerine O ile sağlayan bir f fonksiyonu inşa etmek mümkündür; yani

\omega_f(\delta)=O\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{-1}

olacak ve f 'nin serisi ıraksayacak şekilde. Dini testi, kesinlik ifadesi ise biraz daha uzundur. Şunu ifade eder:

\int_0^\pi \frac{1}{\delta}\Omega(\delta)\,d\delta = \infty

olan herhangi bir Ω fonksiyonu için bir f fonksiyonu vardır öyle ki

\left.\right.\omega_f(\delta;0) < \Omega(\delta)

ve f 'nin Fourier serisi 0'da ıraksar.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]