Atwood düzeneği

Atwood düzeneği

Atwood düzeneği ya da Atwood makinesi, 1784 yılında, İngiliz matematikçi George Atwood tarafından, laboratuvarda sabit ivmeli hareket kanunlarının deneyleri yapılırken icat edilmiştir. Atwood düzeneği, klasik mekanik prensiplerini göstermek adına kullanılan yaygın bir düzenektir.

İdeal bir Atwood düzeneği, m₁ ve m₂ kütleleri olmak üzere birbirlerine uzatılamayan kütlesiz bir ip ve yine kütlesiz bir makarayla bağlanmak üzere iki kısımdan oluşur.

• m₁ = m₂ olduğu zaman, kütleler ne olursa olsun, düzenek denge durumundadır.
• m₁ ≠ m₂ olduğu zaman, kütleler ivmelenmeye başlayacaktır.

Sabit ivme denklemi

Atwood düzeneğinde kütlelerin üzerine etki eden kuvvetlerin diyagramı.m₁ > m₂ olması koşulunda m₁ kütlesi aşağı doğru ivmelenirken, m₂ kütlesi yukarı doğru ivmeleniyor.

Kuvvet analizi kullanarak ivme üzerine bir denklem oluşturulabilir. Eğer kütlesiz ve genleştirilemeyen bir sicimi ve kütlesiz bir makarayı göz önünde bulundurursak, düşünmemiz gereken kuvvetler: gerilim kuvveti (T) ve iki objenin ağırlıkları (W₁ ve W₂) olacaktır. Ayrıca, ivmeyi hesaplayabilmek adına iki cisme de etki eden kuvvetleri dikkate almamız gerekir. Newton'ın hareket yasaları'dan ikincisini kullandığımız takdirde (m₁ > m₂ kabul ettiğimizde)ivme (a) için bir denklem sistemi elde ederiz.

$m_{1}$ aşağı doğru ivmelenirken ve $m_{2}$ yukarı doğru ivmelenirken, a değeri pozitif olsun. O halde $m_{1}$ ve $m_{2}$ cisimlerinin ağırlıkları, $W_{1}=m_{1}g$ ve $W_{2}=m_{2}g$ olacaktır.

$m_{1}$'e etki eden kuvvetler:

$\;m_{1}g-T=m_{1}a$

$m_{2}$'e etki eden kuvvetler:

$\;T-m_{2}g=m_{2}a$

Ve iki denkleri topladığımız zaman elde ettiğimiz denklem:

$\;m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a$

Ve ivme (a) için sonuçlanan formül:

$a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}$

Diğer taraftan yer çekimine bağlı olarak oluşan ivme g de ağırlıkların hareketinin zamanlanmasıyla ve düzgün ivmenin hesaplanmasıyla bulunabilir: $d={1 \over 2}at^{2}$.

Atwood düzeneği bazen hareket denklenmelerini türeten Lagrangian methodu'nu göstermek amacıyla da kullanılır.

Gerilim denklemi

İpteki gerilimin denklemini bilmek kullanışlı olabilir. Gerilimi ölçmek için ivme denklemi, her iki kuvvet denkleminin yerine yazılır.

$a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}$

Örneğin $m_{1}a=m_{1}g-T$'de yerine koyduğumuzda şu denklemi elde ederiz:

$T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}$

Eylemsizlik ve sürtünmeli makara denklemleri

m₁ ve m₂ arasındaki çok küçük kütle farklılıkları için, r yarıçaplı makaranın eylemsizlik momenti (I), ihmal edilemez. Makaranın açısal ivmesi:

$\alpha ={a \over r},$

$\alpha$ makaranın açısal ivmesidir. Net tork ise:

$\tau _{\mathrm {net} }=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{\mathrm {friction} }=I\alpha$

Newton'ın ikinci hareket kanunuyla birlikte, T₁, T₂ ve a çözülürse eğer şu sonuçları elde ederiz:

İvme:

$a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{\mathrm {friction} } \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}$

m₁ kütlesine etki eden ip gerilimi:

$T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{\mathrm {friction} }} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}$

m₂ kütlesine etki eden ip gerilimi:

$T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{\mathrm {friction} }} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}$

Yatak sürtünmesini ihmal etmek gerekirse (fakat eylemsizlik momentini ve ipin sürtünmesini değil), bu eşitlikler aşağıdaki gibi sadeleştirilebilir.

İvme:

$a={{g(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}$

m₁ kütlesine etki eden ip gerilmesi:

$T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}$

m₂ kütlesine etki eden ip gerilmesi:

$T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}$

Ayrıca bakınız

1. Makara (mekanik)
2. Sürtünme

Kaynakça

https://en.wikipedia.org/wiki/Atwood_machine 3 Mart 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış bağlantılar

• Professor Greenslade's account on the Atwood Machine19 Ocak 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• "Atwood's Machine20 Ocak 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi." by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.