Riemann yüzeyi

F (z) = √z fonksiyonu için Riemann yüzeyi. Dikey eksen √z'nin reel kısmını temsil ederken, iki yatay eksen z'nin reel ve sanal kısımlarını temsil eder. √z'nin sanal kısmı, noktaların renklendirilmesiyle temsil edilir. Bu işlev için, aynı zamanda grafiği dikey eksen etrafında 180° döndürdükten sonraki yüksekliktir.

Matematikte, Riemann yüzeyi, özellikle karmaşık analizde bahsi geçen tek boyutlu karmaşık bir manifolddur. Bu yüzey(ler) ilk olarak Bernhard Riemann tarafından incelenmiş ve isimlendirilmiş. Riemann yüzeyleri, karmaşık düzlemin deforme olmuş versiyonları olarak düşünülebilir: her noktanın yakınında karmaşık düzlemin yerel olarak yamaları gibi görünürler, ama topolojisi oldukça farklı olabilmektedir.

Riemann yüzeylerindeki ana ilgi, holomorfik fonksiyonların aralarında tanımlanabilmesidir. Riemann yüzeyleri günümüzde bu fonksiyonların global davranışı, özellikle de karekök ve diğer cebirsel fonksiyonlar veya logaritma gibi çok değerli fonksiyonların incelenmesi için doğal ortam olarak kabul edilmektedir. Her Riemann yüzeyi iki boyutlu gerçek bir analitik manifolddur (yani bir yüzey), ama holomorfik fonksiyonların kesin tanımı için gerekli olan bir alt yapı (karmaşık bir yapı) içerir. İki boyutlu bir gerçek manifold, yönlendirilebilir ve ölçülebilir ise bir Riemann yüzeyine dönüştürülebilir. Dolayısıyla küre ve simit formunda karmaşık yapıları kabul eder, fakat Möbius şeridi, Klein şişesi ve gerçek yansıtmalı düzlem bunu yapmaz.

Tanımlar

Riemann yüzeyinin birkaç eşdeğer tanımı vardır:

1. Bir x Riemann yüzeyi, karmaşık bir boyuta ve bağlantıya sahip bir manifolddur. Bu, x'in karmaşık düzlemin açık birim diskine bir çizelge atlası ile donatılmış bağlı bir Hausdorff alanı olduğu anlamına gelir: her x ∈ X noktası için, kompleksin açık birim diskine homeomorfik olan bir x komşuluğu vardır. Düzlem ve örtüşen iki harita arasındaki geçiş haritalarının holomorfik olması gerekir.

1. Riemann yüzeyi, iki boyutlu yönlendirilmiş bir manifolddur. Yine, manifold, x'in herhangi bir x noktasında, uzayın gerçek düzlemin bir alt kümesine homeomorfik olduğu anlamına gelir. "Riemann" eki, x'in manifold üzerinde açı ölçümüne izin veren ek bir yapıya, yani Riemann metriklerinin bir eşdeğerlik sınıfına sahip olduğunu belirtir. Ölçtükleri açılar aynıysa, bu tür iki metrik eşdeğer kabul edilir. x üzerinde bir eşdeğerlik metrik sınıfı seçmek, uyumlu yapının ek verisidir.

Örnekler

Riemann küresi

Bir simit

• Karmaşık düzlem olan C, en temel Riemann yüzeyidir. f(z) = z haritası (kimlik haritası) C için bir grafik tanımlar, ve {f} C için bir nevi bir atlastır. g(z) = z* haritası (eşlenik harita) aynı zamanda C üzerinde bir grafik tanımlar ve {g} C için bir nevi bir atlastır. f ve g çizelgeleri uyumlu değildir, bu nedenle bu C'ye iki farklı Riemann yüzey yapısı bahşeder. Aslında, bir Riemann yüzeyi X ve atlası A verildiğinde, eşlenik atlası B = {f*: f ∈ A} hiçbir zaman A ile uyumlu değildir, ve X'e farklı, uyumsuz bir Riemann yapısı bahşeder.
• Benzer bir şekilde, karmaşık düzlemin her boş olmayan açık alt kümesi, doğal bir şekilde bir Riemann yüzeyi olarak görülebilir. Daha genel olarak, bir Riemann yüzeyinin her boş olmayan açık alt kümesi bir Riemann yüzeyidir.
• S = C ∪ {∞} ve f(z) = z olsun; burada z, S \ {∞}, g(z) = 1 / z ve S \ {0} içinde, 1 / ∞, 0 olsun. O zaman f ve g çizelgeleri, uyumludurlar ve {f, g} S'yi bir Riemann yüzeyine dönüştüren atlastır.

• 
  f(z) = arcsin z
• 
  f(z) = log z
• 
  f(z) = z^1/2
• 
  f(z) = z^1/3
• 
  f(z) = z^1/4

Diğer tanımlar ve özellikler

Karmaşık manifoldlar arasında bulunan herhangi bir haritada olduğu gibi iki Riemann yüzeyi, M ve N arasındaki bir f: M → N fonksiyonuna holomorfiktir, eğer M atlasındaki her g tablosu ve N atlasındaki her h grafiği için h ∘ f ∘ g⁻¹ haritası, tanımlandığı her yerde holomorfiktir (C'den C'ye giden bir fonksiyon olarak). İki holomorfik haritanın bileşimi holomorfiktir. M'den N'ye giden fonksiyonun tersi de holomorfik olan bijektif bir holomorfik fonksiyondur. Varsa iki Riemann yüzeyi M ve N, biholomorfik (veya konformal bakış açısını vurgulamak için uyumlu olarak eşdeğer) olarak isimlendirilir (ikinci koşulun otomatik olduğu ve bu nedenle ihmal edilebilir). Uyumlu olarak birbirine eşdeğer iki Riemann yüzeyi, tüm pratik amaçlar için aynıdır.

Orientability

Each Riemann surfaces, being a complex manifold, is orientable as a real manifold. For complex charts f and g with transition function h = f(g⁻¹(z)), h can be considered as a map from an open set of R² to R² whose Jacobian in a point z is just the real linear map given by multiplication by the complex number h'(z). However, the real determinant of multiplication by a complex number α equals |α|², so the Jacobian of h has positive determinant. Consequently, the complex atlas is an oriented atlas.

Functions

Every non-compact Riemann surface admits non-constant holomorphic functions (with values in C). In fact, every non-compact Riemann surface is a Stein manifold.

In contrast, on a compact Riemann surface X every holomorphic function with values in C is constant due to the maximum principle. However, there always exist non-constant meromorphic functions (holomorphic functions with values in the Riemann sphere C ∪ {∞}). More precisely, the function field of X is a finite extension of C(t), the function field in one variable, i.e. any two meromorphic functions are algebraically dependent. This statement generalizes to higher dimensions, see Siegel (1955). Meromorphic functions can be given fairly explicitly, in terms of Riemann theta functions and the Abel–Jacobi map of the surface.