Dalga fonksiyonu

Kantum fiziğinde dalga fonksiyonu izole bir kuantum sistemindeki kuantum durumunu betimler. Dalga fonksiyonu karmaşık değerli bir olasılık genliğidir ve sistem üzerindeki olası ölçümlerin olasılıklarının bulunmasını sağlar. Dalga fonksiyonu için en sık kullanılan sembol Yunan psi harfidir ψ ve Ψ (Sırasıyla küçük ve büyük psi harfi).

Dalga fonksiyonu azami bir commuting observables kümesine karşılık gelen serbest dereceler fonksiyonudur. Belli bir temsiliyet seçildiği sürece dalga fonksiyonu kuantum durumundan türetilebilir.

Belli bir sistemde seçilen commuting degrees of freedom özgün değildir veya benzersiz değildir ve karşılıklı olarak fonksiyonun tanım kümesi de özgün veya benzersiz değildir. Örneğin bir konum alanındaki parçacıklarının bütün pozisyon koordinatlarının fonksiyonu olabilir veya bir momentum uzayındaki bütün momentum parçacıkların fonksiyonu olabilir; bu ikisi Fourier dönüşümü üzerinden ilişkilidir. Elektron ve Foton gibi bazı parçacıkların 0 olmayan spinleri vardır ve bu tip parçacıklar için dalga fonksiyonu spini içsel ve ayrı bir serbestlik derecesi olarak alır. İzospin gibi başka değişkenler de alınabilir. Bir sistemin iç serbestlik dereceleri olduğunda sürekli serbestlik derecelerindeki (Uzayda bir nokta) her noktaya dalga fonksiyonu bir karmaşık sayı atar. Bu atama ayrı serbestlik derecelerinin (bkz spinin z-bileşeni) bütün olası değerleri için geçerlidir. Bu değerler genellikle bir sütun matrisinde gösterilirler. (bkz göreli olmayan ¹⁄₂ spine sahip bir elektron 2 × 1 lik bir sütun vektörü içindir).

Kuantum mekaniğinin süperpozisyon prensibine göre, dalga fonksiyonları birbirleriyle toplanarak veya karmaşık sayılarla çarpılarak yeni dalga fonksiyonları ve karşılığında bir Hilbert uzayı oluşturabilirler. Born kuralı geçiş olasılıklarını iç çarpımlarla ilişkilendirmek için kullanılır. İki dalga fonksiyonu arasındaki iç çarpım karşılıksal fiziksel durumların üst üste gelmelerinin ölçümüdür. Bu kuantum mekaniğinin temel olasılığa dayalı yorumlanmasının yapılması için kullanılır. Schrödinger denklemi dalga fonksiyonlarının zamanla gelişimini belirler ve bir dalga fonksiyonu aynı deniz dalgaları veya ip dalgaları gibi niteliksel olarak davranır çünkü Schrödinger denklemi matematiksel olarak bir dalga denklemidir. Bu dalga fonksiyonu ismini açıklar ve dalga parçacık ikiliğine yol açar. Fakat kuantum mekaniğinde dalga fonksiyonu hala farklı yorumlamalara açık bir fiziksel fenomeni açıklamak için kullanılır. Dalga fonksiyonunun bu özelliği onu klasik mekanikteki dalgalardan ayıran en büyük özelliğidir.

Bağlı bir parçacığın dalga fonksiyonunun sağlaması gereken koşullar, $x_{k}\,$ sınır noktaları ve $\psi _{i}\,$ de i bölgesiyle ilişkili dalga fonksiyonu olmak üzere:

• $\lim _{x\to \pm \infty }\psi (x)=0\,$
• $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx=1$
• $\psi _{i}(x_{k})=\psi _{j}(x_{k})\,$
• $\left[{\frac {d\psi _{i}(x)}{dx}}\right]_{x=x_{k}}=\left[{\frac {d\psi _{j}(x)}{dx}}\right]_{x=x_{k}}$

şeklinde verilir. Dalga fonksiyonunun mutlak değer karesi parçacığın olasılık yoğunluğunu verir. Parçacığın belirli bir aralıkta bulunma olasılığı ise mutlak değer karesinin bu aralıktaki integraline eşittir.

$\rho (x)=|\psi (x)|^{2}\,$

$P(a\leq x\leq b)=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,dx$

Tarihçe

1905 yılında Albert Einstein bir fotonun frekansı $f$ ve enerjisi $E$, $E=hf$ arasında bir orantılılık olduğunu ve 1916 yılında da bir fotonun itmesi $p$ ve dalga boyu $\lambda$, $\lambda ={\dfrac {h}{p}}$ ( ${h}$ Planck sabitiyken) arasında bir ilişki olduğunu öne sürdü. 1923'te De Broglie günümüzde "De Broglie İlişkisi" olarak isimlendirilen, $\lambda ={\frac {h}{p}}$ formülünün kütleli parçacıklar için de geçerli olduğunu öneren ilk kişi oldu. Bu gelişmeler kuantum mekaniğin modern gelişmesinin başlangıç noktası olarak adlandırılabilirler. Bahsi geçen denklemler kütlesiz ve kütleli parçacıklar için dalga-parçacık ikiliğini temsil ederler.

1920 ve 1930'li yıllarda kuantum mekanik, kalkülüs ve lineer cebirle geliştiriliyordu. Louis de Broglie, Erwin Shrödinger ve kalkülüsten yararlanan diğer bilim insanları dalga mekaniğini geliştirirken, Werner Heisenberg ve Max Born gibi lineer cebir kullananlar ise matris mekaniği üzerinde çalışıyordular. Sonrasında Schrödinger iki yaklaşımın da eşdeğer olduğunu gösterdi.

1926'da Schrödinger, günümüzde Schrödinger denklemi olarak bilinen ünlü dalga denklemini yayımladı. Denklem, kuantum operatörlerini kullanarak klasik enerjinin korunumu ve de Broglie ilişkileri temel alınarak kurulmuştur ve denklemlerin çözümü kuantum sisteminin dalga fonskiyonlarıdırlar. Fakat kimse denklemleri yorumlamayı bilmiyordu.

Tanım(tek boyutlu uzayda spinsiz bir parçacık)

Şimdilik daha basit bir durum olan, tek boyutlu uzaydaki spin'i olmayan ve göreceli olmayan bir parçacığı ele alalım. Daha genel durumlar aşağıda açıklanacaktır.

Konum-uzay dalga fonksiyonları

Böyle bir parçacığın durumu yalnızca o parçacığın dalga fonksiyonuyla tanımlanabilir,

$\Psi (x,t)$ ,

bu fonksiyonda $x$ pozisyon $t$ ise zamandır. Bu karmaşık-değerli fonksiyon $x$ ve $t$ değişkenlerine bağlıdır.

1d uzaydaki spinsiz bir parçacık için, dalga fonksiyonu, olasılık genliği olarak yorumlanırsa, dalga fonksiyonunun mutlak değerinin karesi , pozitif gerçel sayı

$\mid \Psi (x,t)\mid ^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x,t),$

parçacığın $x$ konumundaki olasılık yoğunluğunu verir. Yıldız işareti($^{\ast }$) fonksiyonun kompleks eşleniğini ifade eder. Parçacığın konumu bilinirse, parçacığın lokasyonu dalga fonksiyonundan belirlenemez, ancak konumunun olasılık dağılımından açıklanabilir.