Martingal (olasılık teorisi)

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde bir martingal (veya martengal) ya da martingal süreci bir sonraki beklenen değerinin geçmişteki bütün gözlemlenmiş değerlerden bağımsız olarak şimdiki gözlemlenen değer olduğu bir stokastik süreçtir.

Martingal sözcüğü hakkında

Martingal sözü Türkçeye matematiksel anlamda yine aynı terimi kullanan İngilizce ve Fransızcadan Martingale sözüyle geçmiştir. Bu kavrama Türkçede karşılık bulmuş bir yerleşik bir terim yoktur. Olasılık teorisindeki martingal tanımını ilk defa 1934 yılında Paul Lévy literatüre sokmuştur; ancak, martingal sözünü kullanmamıştır. Martingal sözünü bu yönde tezinde kullanan Jean Ville (1939) olmuştur ki o da Lévy'nin tanımını sürekli martingallere genişletmiştir. Martingalin matematiksel tanımını yine bu sözü kullanarak ilk defa Joseph Leo Doob vermiştir; Doob bu sözü Ville'in tezinde gördüğünden bir mülakatta bahsetmiştir. Martingal teorisinin bu aşamadan sonraki gelişiminde Joseph Doob büyük pay sahibidir.

Martingal sözünün olasılık teorisinde yer alması büyük bir sürpriz değildir. Paul Lévy öncesinde de olasılık kavramlarına aşina olan matematikçiler bu kavramı şans oyunlarında her zaman kazanan bahis stratejisi anlamına olan martingal sözünden biliyorlardı. Bu bahis stratejilerinin en basiti yazı-tura atmadaki bahsi kazanasaya kadar durmadan ikiye katlama stratejisidir.

Martingal sözünün etimolojisi hakkında kesinlik yoktur.

Tanım

Kesikli-zaman martingali

Bir rassal değişkenler dizisi $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$'e aşağıdaki koşullar sağlanırsa kesikli-zaman martingali ya da kesikli martingal denir:

1. ${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$;
2. ${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$.

Bir rassal değişkenler dizisinin başka bir rassal değişkenler dizisine göreceli olarak martingalini tanımlamak da mümkündür. Bu bağlamda yine $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ başka bir rassal değişkenler dizisi olsun. Eğer $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ve $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ aşağıdaki koşulları sağlarsa, o zaman $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ dizisine $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$'e göre martingaldir denir.

1. ${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$;
2. ${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$.

Sürekli-zaman martingali

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ bir olasılık uzayı ve $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ de bu uzayın gerçel sayılara bağlı ($T\subset \mathbb {R}$) filtresi olsun. O zaman, bir $\{X_{t}\}_{t\in T}$ stokastik sürecine, aşağıdaki koşullar sağlanırsa $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$'ye göre martingal denir:

1. Her $t\in T$ için, $X_{t}$, ${\mathcal {F}}_{t}$ 'ye göre ölçülebilirdir.
2. ${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$
3. ${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}$.

Eğer, ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ ise (yani doğal filtreleme ise), o zaman $\{X_{t}\}$'ye kısaca martingal denir.

Alt ve üst martingaller

$\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ve $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ rassal değişken dizileri verilmiş olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa, $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ dizisine, $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$'e göre alt martingal denir.

1. ${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;$
2. ${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .$

Benzer bir şekilde, eşitsizlik aksi istimakette ise, $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ dizisine, $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$'e göre üst martingal denir. Yani, aşağıdaki koşullar sağlanırsa, $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ dizisi, $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$'e göre üst martingaldir:

1. ${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;$
2. ${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\leq X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .$

Eğer $\{X_{t}\}_{t\in T}$, ($T\subset \mathbb {R}$) bir stokastik süreçse, aşağıdaki koşullar sağlandığında $\{X_{t}\}_{t\in T}$ stokastik sürecine $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$'ye göre alt martingal denir.

1. Her $t\in T$ için, $X_{t}$, ${\mathcal {F}}_{t}$'ye göre ölçülebilirdir.
2. ${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$.
3. ${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t$.

Benzer bir şekilde, eşitsizlik aksi istimakette ise, yani aşağıdaki koşullar sağlanırsa, o zaman $\{X_{t}\}_{t\in T}$ stokastik sürecine $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$'ye göre üst martingal denir.

1. Her $t\in T$ için, $X_{t}$, ${\mathcal {F}}_{t}$'ye göre ölçülebilirdir.
2. ${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$.
3. ${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\leq X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t$.

Eğer, ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ ise (yani doğal filtreleme ise), o zaman $\{X_{t}\}$ stokastik sürecine sağladığı eşitsizlik koşuluna göre kısaca alt martingal ya da üst martingal denir.

Özellikler

• Bir stokastik sürecin martingal olabilmesi için hem alt martingal hem de üst martingal olması gerekli ve yeterlidir.
• Eğer $\{X_{t}\}_{t\in T}$ martingalse, o zaman ${\mathsf {E}}[X_{t}]$ sabittir.
• $\{X_{t}\}_{t\in T}$ alt martingal ise, o zaman $\{-X_{t}\}_{t\in T}$ üst martingaldir.
• Eğer $\{X_{t}\}_{t\in T},\{Y_{t}\}_{t\in T}$ alt (ya da üst) martingalse ve $a,b\geq 0$ ise, o zaman $\{aX_{t}+bY_{t}\}_{t\in T}$ de bir alt (ya da üst) martingaldir.
• $\{X_{t}\}_{t\in T},\{Y_{t}\}_{t\in T}$ martingalse, $\{aX_{t}+bY_{t}\}_{t\in T}$ de $a,b\in \mathbb {R}$ için martingaldir.
• Eğer $\{X_{t}\}_{t\in T},\{Y_{t}\}_{t\in T}$ üst martingalse, o zaman $\{\min(X_{t},Y_{t})\}_{t\in T}$ de bir üst martingaldir.
• Eğer $\{X_{t}\}_{t\in T},\{Y_{t}\}_{t\in T}$ alt martingalse, o zaman $\{\max(X_{t},Y_{t})\}_{t\in T}$ de bir alt martingaldir.
• $\{X_{t}\}_{t\in T}$ martingalse ve $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dışbükey fonksiyonsa, o zaman $\{f(X_{t})\}_{t\in T}$ Jensen eşitsizliği sayesinde alt martingaldir. Eğer, $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ içbükey fonksiyonsa, o zaman $\{f(X_{t})\}_{t\in T}$ üst martingaldir.
• Genel olarak, bir martingal Markov süreci olmak zorunda değildir. Tersi ifade de genel olarak doğru değildir. Yani, bir Markov süreci genel olarak martingal olmak zorunda değildir.
• Sürekli her martingalin ya sonsuz varyasyonu vardır ya da bu martingal sabittir.

Örnekler

• Oyuncunun tura geldiğinde 1 lira kazandığı ama yazı geldiğinde 1 lira kaybettiği bir yazı-tura oyununu ele alalım.
  • Eğer oyun adil bir parayla oynanıyorsa, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı (oynanmış oyun sayısının fonksiyonu olarak) martingaldir.
  • Eğer parada yazının gelme olasılığı daha yüksekse, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı alt martingaldir.
  • Eğer parada turanın gelme olasılığı daha yüksekse, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı üst martingaldir.
• Eğer $X\,$ integrallenebilir bir rassal değikense ve $X_{n}:=E[X|{\mathcal {F}}_{n}]$ olarak tanımlanırsa, $\{X_{t}\}_{n\in \mathbb {N} }$, ${\mathcal {F}}_{n}$'e göre bir martingaldir. Gerçekten de, $\operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})=X_{n}$ olacaktır.
• Durdurulmuş martingal yine martingaldir.
• Brown hareketi bir martingaldir.
• Eğer $W_{t}$ Brown hareketiyse,
  • $\{W_{t}^{2}-t\}_{t\in [0,\infty )}$ süreci martingaldir.
  • Her $\lambda \in \mathbb {R}$ için, $\{e^{\lambda W_{t}-{\frac {1}{2}}t\lambda ^{2}}\}_{t\in [0,\infty )}$ süreci martingaldir.

Kaynakça

• Çapar, Uluğ (2013). Ölçü Kuramsal Olasılık ve Stokastik Kalkülüse Giriş. Ankara: ODTÜ Yayıncılık. 
• Ville, J. (1939), Gauthier-Villars (Ed.), Étude critique de la notion de collectif, Paris 
• Snell, J. L. (1997). "A conversation with Joe Doob". Statist. Sci. 12 (4). ss. 301-311. Erişim tarihi: 4 Eylül 2024. 
• Mansuy, Roger (June 2009). "The origins of the Word "Martingale"" (PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). 31 Ocak 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 22 Ekim 2011.