Brocard noktaları sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Brocard point.svg|küçükresim|upright=1.36|{{ortala|Üç çemberin kesişim noktasında oluşturulmuş, bir üçgene ait Brocard noktası.}}]]
'''Brocard noktaları''', [[geometri]]de bir [[üçgen]] içinde yer alan özel noktalardır. Fransız matematikçi [[Henri Brocard]]'ın çalışmalarından dolayı bu adı almıştır.

==Tanım==
Kenarları <math>a</math>, <math>b</math> ve <math>c</math>, köşeleri saat yönünün tersine doğru <math>A</math>, <math>B</math> ve <math>C</math> olarak adlandırılmış bir <math>\triangle ABC</math> üçgeninde, <math>AP</math>, <math>BP</math> ve <math>CP</math> sırasıyla <math>c</math>, <math>a</math> ve <math>b</math> kenarlarıyla eşit <math>\omega</math> açısı yapacak şekilde bir <math>P</math> noktası bulunur.

: <math>\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA.\,</math>

Bu <math>P</math> noktasına <math>\triangle ABC</math> üçgeninin '''birinci Brocard noktası''' ve <math>\omega</math> açısına üçgenin '''Brocard açısı''' denir. Bu [[açı]] şu denklemi sağlar:

:<math>\cot\omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma.\,</math>

<math>\triangle ABC</math> üçgeninde  <math>AQ</math>, <math>BQ</math> ve <math>CQ</math> doğru parçalarının sırasıyla <math>b</math>, <math>c</math> ve <math>a</math> kenarlarıyla eşit açı yapması şartını sağlayan bir <math>Q</math>, '''ikinci Brocard noktası''', bulunur. Diğer bir deyişle

:<math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math>

denklemi bu nokta için de geçerlidir. Dikkat çekici biçimde, bu ikinci Brocard noktası ile birinci Brocard noktası aynı Brocard açısına sahiptir. Yani

:<math>\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB</math>

ve

:<math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math>

birbirine eşittir.

İki Brocard noktası arasında yakın ilişki vardır; aslında ikisi arasındaki fark <math>\triangle ABC</math> üçgeninin açılarının hangi sırayla seçildiğine bağlıdır. Örnek verilirse, <math>\triangle ABC</math> üçgeninin birinci Brocard noktası, <math>\triangle ACB</math> üçgeninin ikinci Brocard noktasıdır.

<math>\triangle ABC</math> üçgeninin iki Brocard noktası birbirinin [[İzogonal eşlenik|izogonal eşleniği]]dir.

== Elde edilmesi ==
Brocard noktalarını oluşturmanın en iyi yolu için şöyle denebilir. Verilecek örnekte sadece birinci Brocard noktası ele alınacak ancak ikinci Brocard noktasını bulmak buna çok benzerdir.

<math>A</math> ile <math>B</math> noktalarından geçen, üçgenin <math>BC</math> kenarına teğet bir çember (bu çemberin merkezi <math>AB</math>'nin orta dikmesi ile <math>B</math> noktasından <math>BC</math>'ye dik olarak çizilecek doğrunun kesişim noktası olacaktır) oluşturulur. Simetrik olarak, <math>B</math> ile <math>C</math> noktalarından geçen, <math>AC</math> kenarına teğet ve <math>A</math> ile <math>C</math> noktalarından geçen, <math>AB</math> kenarına teğet çemberler çizilir. Bu üç çemberin ortak tek noktası, <math>\triangle ABC</math> üçgeninin birinci Brocard noktasıdır.

İkinci Brocard noktası aynı yöntemle tespit edilebilir.

==Kaynakça==
{{Kaynak başı}}
*{{Kaynak
 | soyadı1 = Akopyan
 | ad1 = A. V.
 | soyadı2 = Zaslavsky
 | ad2 = A. A.
 | başlık = Geometry of Conics
 | yayıncı = [[American Mathematical Society]]
 | seri = Mathematical World
 | cilt = 26
 | yıl = 2007
 | isbn = 978-08218-4323-9
 | sayfalar =48-52}}.
*{{Kaynak
 | ad = Ross
 | soyadı = Honsberger
 | katkı = Chapter 10. The Brocard Points
 | başlık = Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
 | yayıncı = [[Amerika Matematik Derneği|The Mathematical Association of America]]
 | yer= Washington, D.C.
 | yıl = 1995}}. 
{{Kaynak sonu}}

==Dış bağlantılar==
* {{MathWorld|urlname=ThirdBrocardPoint|title=Üçüncü Brocard Noktası}}

[[Kategori:Üçgen geometrisi]]
[[Kategori:Trigonometri]]