Vikipedi, özgür ansiklopedi
F
→
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)}
ile gösterilen bir vektör alanının rotasyoneli, nabla operatörü (
∇
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}}
) ile
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
'nin vektörel çarpımına eşittir.
rot
F
→
=
∇
→
×
F
→
=
det
|
i
^
j
^
k
^
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
F
x
F
y
F
z
|
=
(
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
)
i
^
−
(
∂
F
z
∂
x
−
∂
F
x
∂
z
)
j
^
+
(
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
)
k
^
{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\operatorname {det} {\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {i}}-\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\right){\hat {j}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {k}}}
Tensör gösterimi (
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}\,}
, Levi-Civita tensörü olmak üzere):
∇
×
F
=
ϵ
i
j
k
∂
j
F
k
e
i
=
e
i
ϵ
i
j
k
F
k
,
j
{\displaystyle \nabla \times F=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k}e_{i}=e_{i}\epsilon _{ijk}F_{k,j}}
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
skaler bir alan,
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
ve
G
→
{\displaystyle {\vec {G}}}
de vektörel birer alan olmak üzere, rotasyonel alma işleminin özellikleri şöyle sıralanabilir:
∇
→
×
(
F
→
+
G
→
)
=
∇
→
×
F
→
+
∇
→
×
G
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times ({\vec {F}}+{\vec {G}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}+{\vec {\nabla }}\times {\vec {G}}}
∇
→
×
(
ϕ
F
→
)
=
(
∇
→
ϕ
)
×
F
→
+
ϕ
(
∇
→
×
F
→
)
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times (\phi {\vec {F}})=({\vec {\nabla }}\phi )\times {\vec {F}}+\phi ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})}
∇
×
(
∇
ϕ
)
=
0
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=0}
∇
⋅
(
∇
×
F
→
)
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times {\vec {F}})=0}
∇
×
(
∇
ϕ
)
=
0
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=0}