Beklenen değer

Beklenen değer bir rassal değişkeninin alabileceği bütün değerlerin, olasılıklarıyla çarpılması ve bu işlemin bütün değerler üzerinden toplanmasıyla elde edilen değerdir. Ağırlıklı ortalama olarak da düşünülebilir ki ağırlık katsayıları verilen olasılık kütle fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Tanım

Beklenen değer, beklenen değer işlemcisi E ile gösterilir. Rassal değişkeninin sürekli veya aralıklı olması durumuna göre beklenen değer şu şekilde hesaplanır.

$E[\mathrm {X} ]={\begin{cases}\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx,&\mathrm {X} :{\mbox{ surekli}}\\\sum _{i}x_{i}p(x_{i}),&\mathrm {X} :{\mbox{ aralikli}}\end{cases}}$

Beklenen değerin başka gösterimleri $m_{\mathrm {X} }$, $\mu _{1}$ ($\mu$ merkezsel moment) ve $E(\mathrm {X} )$ olarak verilir. Yukarıdaki tanımda f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur, p(x) ise olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır. E işlemcisi doğrusal bir işlemcidir. İki fonksiyon da normalize oldukları için sabit bir değerin beklenen değeri kendisine eşittir.

Özellikler

• $E[k]=k:k\in \mathbb {R}$
• $E[a\mathrm {X} +b]=aE[\mathrm {X} ]+b:a,b\in \mathbb {R}$

İspat

$E[a\mathrm {X} +b]\,$	$=\int _{-\infty }^{\infty }(ax+b)f(x)dx$
	$=a{\begin{matrix}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx} \\E[\mathrm {X} ]\end{matrix}}+b{\begin{matrix}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx} \\1\end{matrix}}$
	$=aE[\mathrm {X} ]+b\,$

• $E[a\mathrm {X} +bY+c]=aE[\mathrm {X} ]+bE[Y]+c:a,b,c\in \mathbb {R}$
• $E[\mathrm {X} Y]\neq E[\mathrm {X} ]E[Y]$ (Eğer X ve Y ilişkisiz ise $E[\mathrm {X} Y]=E[\mathrm {X} ]E[Y]$)