Jacobi-Anger açılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Jacobi-Anger açılımı veya Jacobi-Anger eşitliği, matematikte trigonometrik fonksiyonların harmonikleri temel alınarak yapılan bir üstel açılımdır . Fizikte (örneğin düzlem dalgalar ve silindirik dalgalar arasında dönüşüm) ve sinyal işlemede (FM sinyallerini tanımlamak için) kullanılır. Eşitlik adını 19. yüzyıl matematikçileri Carl Jacobi ve Carl Theodor Anger'den almıştır.

Açılım[değiştir | kaynağı değiştir]

En genel halde eşitlik;[1][2]

e^{i z \cos \theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} i^n\, J_n(z)\, e^{i n \theta}

ve

e^{iz \sin \theta} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z) e^{in\theta},

şeklindedir. burada J_n(z) n'inci Bessel fonksiyonudur. J_{-n}(z) = (-1)^n\, J_{n}(z), ilişkisi kullanılarak n'inci tam sayı değeri için açılım:[1][2]

e^{i z \cos \theta}=J_0(z)\, +\, 2\, \sum_{n=1}^{\infty}\, i^n\, J_n(z)\, \cos\, (n \theta).

Aşağıdaki reel değerli varyasyonlar da sıkça kullanılır.[3]


\begin{align}
  \cos(z \cos \theta) &= J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
  \\
  \sin(z \cos \theta) &= -2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n J_{2n-1}(z) \cos\left[\left(2n-1\right) \theta\right],
  \\
  \cos(z \sin \theta) &= J_0(z)+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n}(z) \cos(2n \theta),
  \\
  \sin(z \sin \theta) &= 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n-1}(z) \sin\left[\left(2n-1\right) \theta\right].
\end{align}

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel[değiştir | kaynağı değiştir]

Özel[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Colton & Kress (1998) ss. 32.
  2. ^ a b Cuyt et al. (2008) ss. 344.
  3. ^ Abramowitz & Stegun (1965) ss. 361, 9.1.42-45

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]