Harcourt teoremi

Geometride Harcourt teoremi, kenar uzunluklarının bir fonksiyonu olarak ve kendi iç teğet çemberine teğet olan rastgele bir doğrudan köşelerinin dikey uzunluklarının bir fonksiyonu olarak üçgenin alanı ile ilgili bir formüldür. Teorem adını İrlandalı bir profesör olan J. Harcourt'tan almıştır.

Açıklama

Köşeleri, $A$, $B$ ve $C$, kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$, alanı $K$ olan bir üçgen ve çemberin herhangi bir noktasında üçgenin iç teğet çemberine teğet olan bir doğru verilsin. Köşelerin doğrudan işaretli dikey mesafeleri $a'$, $b'$ ve $c'$ olarak belirtilsin, ancak ve ancak köşe iç teğet çemberin merkezinden gelen doğrunun zıt tarafındaysa mesafe negatif alınır. Sonra teoreme göre aşağıdaki ifade sağlanır:

$aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.$

Dejenere durum

Pozitif (mavi) ve negatif (kırmızı) $a'$, $b'$ ve $c'$ uzunlukları ile Harcourt teoremi:$2F=aa'+bb'+cc'=a|a'|+b|b'|-c|c'|$

Teğet doğrusu, üçgenin kenarlarından birini içeriyorsa, mesafelerden ikisi sıfırdır ve formül, bir üçgenin alanının iki katı bir taban (çakışan üçgen kenarı) çarpı bu tabandan yükseklik olan tanıdık formüle dönüşür.

Örneğin $A$ noktası $A'$ noktası ile ve $B$ noktası $B'$ noktası ile çakıştığında, $a'=b'=0$ ve $c'$ üçgenin bir yüksekliği $h_{c}$ olur, bu durumda Harcourt teoremi $2\cdot F=c\cdot h_{c}$ şekline dönüşür, bu da üçgen alanı için çok bilindik olan $\textstyle F={\frac {1}{2}}c\cdot h_{c}$ formülünü verir.

Genişleme

Eğer doğru, dış teğet çembere (excircle) teğet yerine tersi ise, diyelim ki, üçgenin tepesi $A$, sonra

$-aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.$

Eşlek özellik

Bir tepe noktasından rastgele bir iç teğet çemberin teğet doğrusuna olan mesafelere atıfta bulunan $a'$, $b'$, $c'$ yerine, bir kenar çizgisinden rastgele bir noktaya olan mesafelere atıfta bulunurlarsa, o zaman denklem;

$aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.$

geçerliliğini korur.

Konuyla ilgili yayınlar

• Luis Gonzalez & Cosmin Pohoata (2013). "Hartcourt's Theorem via Salmon's Lemma" (PDF). Mathematical Reflections. 6. 15 Haziran 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 6 Aralık 2020.